定义
设
满足
. 若存在
使得
, 那么就说
是
的倍数,
是
的约数。这种关系记作
,读作“
整除
”.
例如
. 所以
,同时
是
的因数;
是
的因数。
除了自己本身外的约数,称为 真约数 或 真因子[5][6](proper divisor)[7][8]。
性质
- 若
那么
.
- 若
且
, 有
.
- 若
, 设
, 那么
.
- 若
, 那么
的充要条件是 ![{\displaystyle d|c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96aeae4898f588d747a0910a13cf1a2c9a80df9e)
- 若
满足
那么
.
这里对最后一条性质进行证明:
证毕。
相关定理
任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式。这个过程称为素因数分解
如果
, 那么
, 其中
是一个素数.
这种表示方法是唯一的。
因数个数
自然数
的因数个数以
表示。
若
唯一分解为
, 则
.
例如
,则其正因数个数
。
因数和
自然数N的正因数和,以因数函数
表示。由素因数分解而得。
若
唯一分解为
, 则
.
再由等比级数求和公式可知,上式亦可写成:
例如
,则其正因数之和
。