高合成数（highly composite number）指一类整数，任何比它小的自然数的因子数目均比这个数的因子数目少。这个词是由斯里尼瓦瑟·拉马努金所创建。但是让-皮埃尔·卡汗（英语：Jean-Pierre Kahane）认为柏拉图已有提出此一概念，柏拉图认为城市理想的人口数为5040，因为这个数的因子数量多过任何一个比小于它的数^[1]。

以数字6为例，小于6的数字中，因子最多的数是4，有3个因子（1,2,4），而6有4个因子（1,2,3,6），因此6是高合成数。

高合成数的名称容易让人误以为其中都是合成数，其实前二个高合成数1和2都不是合成数。

最小的20个高合成数为：

	1,	2,	4,	6,	12,	24,	36,	48,	60,	120,	180,	240,	360,	720,	840,	1260,	1680,	2520,	5040,	7560,	A002182
正因子个数	1,	2,	3,	4,	6,	8,	9,	10,	12,	16,	18,	20,	24,	30,	32,	36,	40,	48,	60,	64,	A002183

高度合成数有无限个。为了证明这点，可用反证法。假设${\displaystyle n}$是最大的高度合成数。显然${\displaystyle 2n}$比${\displaystyle n}$有更多因子，所以${\displaystyle 2n}$才是最大的高度合成数，矛盾，故高度合成数有无限个。

大于6的高度合成数亦是丰数。

这些数常见于量度系统，在工程设计亦很常用，因为它们在分数计算时很方便。

若 Q(x)表示所有小于或等于x的高度合成数的数目，则存在两个均大于1的常数${\displaystyle a,b}$，使得∶

${\displaystyle \ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b}\,.}$

相关条目

• Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number）
• 高欧拉商数
• 约数表（英语：Table of divisors）
• 欧拉函数
• Round number（英语：Round number）
• 光滑数

参考资料

外部的连结

• 埃里克·韦斯坦因. Highly Composite Number. MathWorld. 
• Algorithm for computing Highly Composite Numbers
• First 10000 Highly Composite Numbers
• Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Online Highly Composite Numbers Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆）

查 论 编 和约数有关的整数分类 简介 素因数分解 约数 元约数 除数函数 素因数 算术基本定理 依约数分解分类 素数 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 幂数 素数幂 平方数 立方数 次方数 阿喀琉斯数 光滑数 正规数 粗糙数 不寻常数 依约数和分类 完全数 殆完全数 准完全数 多重完全数 Hemiperfect数 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number） 超完全数 元完全数 半完全数 本原半完全数 实际数 有许多约数 过剩数 本原过剩数 高过剩数 超过剩数 可罗萨里过剩数 高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number） 奇异数 和真因子和数列有关 不可及数 相亲数 交际数 婚约数 其他 亏数 友谊数 孤独数 卓越数 欧尔调和数 佩服数 节俭数 等数位数 奢侈数