完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，${\displaystyle (({1}+{2))+{3))=6}$，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，${\displaystyle (((({1}+{2))+{4))+{7))+{14))=28}$，也恰好等于本身。后面的数是496、8128。

十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数，它们不是亏数就是盈数。

完全数的发现

古希腊数学家欧几里得是通过${\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)}$ 的表达式发现前四个完全数的。

当${\displaystyle n=2:}$${\displaystyle (({2}^{1))\times {\left((({2}^{2))-{1))\right)))=6}$

当${\displaystyle n=3:}$${\displaystyle (({2}^{2))\times {\left((({2}^{3))-{1))\right)))=28}$

当${\displaystyle n=5:}$${\displaystyle (({2}^{4))\times {\left((({2}^{5))-{1))\right)))=496}$

当${\displaystyle n=7:}$${\displaystyle (({2}^{6))\times {\left((({2}^{7))-{1))\right)))=8128}$

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$，其中${\displaystyle 2^{n}-1}$是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。

比如，上面的${\displaystyle 6}$和${\displaystyle 28}$对应着${\displaystyle n=2}$和${\displaystyle 3}$的情况。我们只要找到了一个形如${\displaystyle 2^{n}-1}$的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是${\displaystyle 12p+1}$或${\displaystyle 36p+9}$的形式，其中${\displaystyle p}$是素数。

首十个完全数是（ A000396）：

1. 6（1位）
2. 28（2位）
3. 496（3位）
4. 8128（4位）
5. 33550336（8位）
6. 8589869056（10位）
7. 137438691328（12位）
8. 2305843008139952128（19位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

历史

古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 ${\displaystyle n=11}$ 的时候，可是 ${\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89}$ 并不是素数。因此 ${\displaystyle n=11}$ 不是完全数。另外两个错误假设是：

• 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。
• 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数 ${\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)}$ 是 ${\displaystyle 8}$ 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 ${\displaystyle 6}$ 结尾，但是1588年，意大利数学家彼得罗·卡塔尔迪计出第六个完全数 ${\displaystyle 8589869056}$，仍是以 ${\displaystyle 6}$ 结尾，只能说欧几里得的公式给出的完全数以 ${\displaystyle 6}$ 和 ${\displaystyle 8}$ 结尾。卡塔尔迪证明了此结论。此外，还计出第七个完全数137,438,691,328。^[1][2][3]

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为 ${\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)}$ 共有 ${\displaystyle 49724095}$ 位数。

性质

以下是目前已发现的完全数共有的性质。

• 偶完全数都是以6或28结尾^[4][5]。
• 在十二进制中，除了6跟28以外的偶完全数都以54结尾，甚至除了6, 28, 496以外的偶完全数都以054或854结尾。^{[原创研究？][查证请求][来源请求]}而如果存在奇完全数，它在十二进制中必定以1, 09, 39, 69或99结尾^[6]。
• 在六进制中，除了6以外的偶完全数都以44结尾，甚至除了6, 28以外的偶完全数都以144或344结尾。^{[原创研究？][查证请求][来源请求]}而如果存在奇完全数，它在六进制中必定以01, 13, 21或41结尾^[6]。
• 除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1^{[4][5][注 1]}：

${\displaystyle 28}$ → ${\displaystyle 2+8=10}$ → ${\displaystyle 1+0=1}$
${\displaystyle 496}$ → ${\displaystyle 4+9+6=19}$ → ${\displaystyle 1+9=10}$ → ${\displaystyle 1+0=1}$

• 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从${\displaystyle 2^{p-1))$到${\displaystyle 2^{2p-2))$：

${\displaystyle 6=2^{1}+2^{2))$
${\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4))$
${\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8))$
${\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12))$

• 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和^{[注 2]}：

${\displaystyle 6=1+2+3}$
${\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}$
${\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}$
${\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127}$

• 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有${\displaystyle {\sqrt {2^{p-1))))$)^{[注 3]}：

${\displaystyle 28=1^{3}+3^{3))$
${\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3))$
${\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3))$
${\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3))$

• 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。）

${\displaystyle {\frac {1}{1))+{\frac {1}{2))+{\frac {1}{3))+{\frac {1}{6))={\frac {6+3+2+1}{6))=2}$
${\displaystyle {\frac {1}{1))+{\frac {1}{2))+{\frac {1}{4))+{\frac {1}{7))+{\frac {1}{14))+{\frac {1}{28))={\frac {28+14+7+4+2+1}{28))=2}$

• 它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$）

${\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2))$
${\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2))$
${\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2))$
${\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2))$
${\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2))$
${\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2))$
${\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2))$

奇完全数

未解决的数学问题：奇完全数存在吗？

用计算机已经证实：在10¹⁵⁰⁰以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一个不少于7位数的素因子）但不包含3，亦不会是立方数。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

美国数学家卡尔·帕梅朗斯提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。^[7]

奇完全数的部分条件

• N > 10^1500[8]
• N是以下形式：

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1))\ldots p_{k}^{2e_{k)),}$

其中：

• q，p₁，…，p_k是不同的素数（Euler）。
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
• N的最小素因子必须小于${\displaystyle {\frac {k-1}{2)).}$^[9]。
• ${\displaystyle e_{1))$≡${\displaystyle e_{2))$...≡${\displaystyle e_{k))$ ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。
• 要么q^α > 10⁶²，要么对于某个j有${\displaystyle p_{j}^{2e_{j))}$ > 10^62[8]。
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})))$^[10][11]

• N必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。^[6]
• N不能被105整除。^[12]
• N的最大素因子必须大于10^8[13]，并低于 ${\displaystyle (3N)^{1/3))$。^[14]。
• N的第二大素因子必须大于10⁴，并低于${\displaystyle (2N)^{1/5))$。^[15][16] 。
• N的第三大素因子必须大于100。^[17]
• N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。^[8][18] 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。^[19]

• 如果对于所有的i，都有${\displaystyle e_{i))$ ≤ 2，那么：
  • N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
  • α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

图查德定理

这个定理说明若存在奇完全数，其形式必如${\displaystyle 12m+1}$或${\displaystyle 36q+9}$。最初的证明在1953年由雅克·图查德（英语：Jacques Touchard）首先证明，1951年巴尔塔萨·范德波尔用非线性偏微分方程得出证明。茱蒂·霍尔德纳在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。

证明会使用这四个结果：（下面的n,k,j,m,q均为正整数）

• 欧拉证明了奇完全数的形式必如${\displaystyle 4j+1}$。^[20]
• ${\displaystyle \sigma (n)}$表示${\displaystyle n}$的正约数之和。完全数的定义即为${\displaystyle 2n=\sigma (n)}$。
  ${\displaystyle \sigma (n)}$为积性函数
• 引理（甲）：若${\displaystyle n=6k-1}$（${\displaystyle k}$是正整数），则${\displaystyle n}$非完全数。
• 引理（乙）：若${\displaystyle n=4k-1}$（${\displaystyle k}$是正整数），则${\displaystyle n}$非完全数。

引理的证明（甲）：

使用反证法，设${\displaystyle n}$为完全数，且${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6))}$。

${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3))}$。因为3的二次剩余只有0,1，故${\displaystyle n}$非平方数，因此其正约数个数为偶数。

${\displaystyle n}$有正约数${\displaystyle d}$，则可得：

${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {3))}$且${\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {3))}$；或

${\displaystyle d\equiv -1{\pmod {3))}$且${\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {3))}$。

因此，${\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3))}$。故${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n))}d+n/d\equiv 0{\pmod {3))}$。

但${\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3))}$，矛盾。

故${\displaystyle n}$的形式只可能为${\displaystyle 6k+1}$或${\displaystyle 6k+3}$。

引理的证明（乙）：

使用反证法，设${\displaystyle n}$为完全数，且${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4))}$。

${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4))}$。因为4的二次剩余只有0,1，故${\displaystyle n}$非平方数，因此其正约数个数为偶数。

${\displaystyle n}$有正约数${\displaystyle d}$，则可得：

${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4))}$且${\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4))}$；或

${\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4))}$且${\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4))}$。

因此，${\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4))}$。故${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n))}d+n/d\equiv 0{\pmod {4))}$。

但${\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4))}$，矛盾。

故${\displaystyle n}$的形式只可能为${\displaystyle 4k+1}$。

若${\displaystyle n=6k+1}$，根据欧拉的结果，${\displaystyle n=4j+1}$，综合两者，得${\displaystyle n=12m+1}$。

若${\displaystyle n=6k+3}$，${\displaystyle n=4j+1}$，得${\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)}$。若${\displaystyle m}$非3的倍数，3和${\displaystyle 4m+3}$互素。

因为${\displaystyle \sigma (n)}$为积性函数，可得${\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4))}$。

但${\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4))}$，出现了矛盾。故知${\displaystyle m}$是3的倍数。代入${\displaystyle m=3q}$，可得${\displaystyle n=36q+9}$。

参考

• Odd Perfect Numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Gagan Tara Nanda

注释

参考资料

1. ^ Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 10. 
2. ^ Pickover, C. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. 2001: 360 [2021-11-08]. ISBN 0-19-515799-0. （原始内容存档于2022-03-22）. 
3. ^ Peterson, I. Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. 2002: 132 [2021-11-08]. ISBN 88-8358-537-2. （原始内容存档于2021-11-08）. 
4. ^ ^{4.0 4.1} H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
5. ^ ^{5.0 5.1} Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 25. 
6. ^ ^{6.0 6.1 6.2} Roberts, T. On the Form of an Odd Perfect Number (PDF). Australian Mathematical Gazette. 2008, 35 (4): 244 [2021-03-15]. （原始内容存档 (PDF)于2013-05-14）. 
7. ^ 存档副本. [2006-07-26]. （原始内容存档于2006-12-29）. 
8. ^ ^{8.0 8.1 8.2} Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 10¹⁵⁰⁰ (PDF). Mathematics of Computation. 2012, 81 (279): 1869–1877 [2021-11-03]. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . （原始内容 (PDF)存档于2016-01-15）. 
9. ^ Zelinsky, Joshua. On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number (PDF). Integers. 3 August 2021, 21 [7 August 2021]. （原始内容 (PDF)存档于2021-11-03）. 
10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E. Improved upper bounds for odd multiperfect numbers.. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 2014, 89 (3): 353–359. 
11. ^ Nielsen, Pace P. An upper bound for odd perfect numbers. Integers. 2003, 3: A14–A22 [23 March 2021]. （原始内容存档于2003-02-21）. 
12. ^ Kühnel, Ullrich. Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift. 1950, 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691 （德语）. 
13. ^ Goto, T; Ohno, Y. Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10⁸ (PDF). Mathematics of Computation. 2008, 77 (263): 1859–1868 [30 March 2011]. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . （原始内容 (PDF)存档于2011-08-07）. 
14. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter. On Prime Factors of Odd Perfect Numbers. International Journal of Number Theory. 2012, 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935. 
15. ^ Zelinsky, Joshua. Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number. International Journal of Number Theory. July 2019, 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734 . doi:10.1142/S1793042119500659. .
16. ^ Iannucci, DE. The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand (PDF). Mathematics of Computation. 1999, 68 (228): 1749–1760 [30 March 2011]. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . （原始内容 (PDF)存档于2021-11-03）. 
17. ^ Iannucci, DE. The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred (PDF). Mathematics of Computation. 2000, 69 (230): 867–879 [30 March 2011]. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. （原始内容存档 (PDF)于2013-05-17）. 
18. ^ Nielsen, Pace P. Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds (PDF). Mathematics of Computation. 2015, 84 (295): 2549–2567 [13 August 2015]. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . （原始内容 (PDF)存档于2015-07-08）. 
19. ^ Nielsen, Pace P. Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors (PDF). Mathematics of Computation. 2007, 76 (260): 2109–2126 [30 March 2011]. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. arXiv:math/0602485 . doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. （原始内容 (PDF)存档于2021-11-03）. 
20. ^ [1]^{[永久失效链接]}

参见

• 高合成数
• 婚约数
• 亲和数
• 盈数
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全数
• 佩服数
• 超完全数
• 梅森素数与完全数集合
• 笛卡尔数

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Perfect number, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Perfect numbers – History and Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Perfect Number. MathWorld. 
• Sloane, N.J.A. (编). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
• Great Internet Mersenne Prime Search^{[永久失效链接]}
• Perfect Numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）, math forum at Drexel.
• Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. （原始内容存档于2013-05-31）. 

查 论 编 和约数有关的整数分类 简介 素因数分解 约数 元约数 除数函数 素因数 算术基本定理 依约数分解分类 素数 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 幂数 素数幂 平方数 立方数 次方数 阿喀琉斯数 光滑数 正规数 粗糙数 不寻常数 依约数和分类 完全数 殆完全数 准完全数 多重完全数 Hemiperfect数 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number） 超完全数 元完全数 半完全数 本原半完全数 实际数 有许多约数 过剩数 本原过剩数 高过剩数 超过剩数 可罗萨里过剩数 高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number） 奇异数 和真因子和数列有关 不可及数 相亲数 交际数 婚约数 其他 亏数 友谊数 孤独数 卓越数 欧尔调和数 佩服数 节俭数 等数位数 奢侈数