幂数^[1]（英语：powerful number）也称为幂次数，是指一正整数${\displaystyle n}$，其所有素因数的平方亦是${\displaystyle n}$的约数，换言之，若存在一素因数${\displaystyle p}$，则${\displaystyle p^{2))$也是${\displaystyle n}$的约数。

幂数可表示为一个平方数及立方数的乘积，若${\displaystyle a}$及${\displaystyle b}$为正整数（包括1在内），${\displaystyle a^{2}b^{3))$即为幂数。而平方数及立方数本身（及整数的更高次方）也是幂数。

保罗·埃尔德什及乔治·塞凯赖什都曾针对这类数字进行研究，而数学家Solomon W. Golomb将这类的数命名为“powerful number”，“powerful”应该是指数字由许多幂所组成，但此词恰巧也有“强大的”、“有力的”的意思。

以下是1000以内幂数的列表：

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 （OEIS数列A001694）。

数学性质

幂数的素因数分解中，各素因数指数均大于1。

幂数的倒数和收敛，其值为：

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2))}+{\frac {1}{p^{3))}+{\frac {1}{p^{4))}+\cdots \right)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)))\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)))={\frac {315}{2\pi ^{4))}\zeta (3)}$

其中

p为所有的素数

${\displaystyle \zeta (s)}$为黎曼ζ函数

${\displaystyle \zeta (3)}$为阿培里常数^[2]。

若用k(x)来表示当1≤n≤x时，幂数n的个数，则k满足以下的不等式

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots }$^[2]

。

佩尔方程x²-8y²=1有无限多个正整数解，因此存在无限多组连续的幂数（若x、y为正整数解，则x²及8y²即为二个连续的幂数），其中最小的是8和9^[2]。而8和9恰好也是唯一一组连续的次方数（卡塔兰猜想，后来已被数学家普雷达·米哈伊列斯库证明）。

幂数的和与差

每一个奇数都可以表示为二个连续数字的平方的差：(k + 1)² = k² + 2k +1²，因此 (k + 1)² - k² = 2k + 1。而每一个4的倍数都可以表示为二个彼此差2的正整数，其平方的差：(k + 2)² - k² = 4k + 4。以上数字均可表示为二平方数的差，因此可就是二个幂数的差。

但无法被4整除的偶数（即奇偶数（英语：Singly even number））无法表示为二个平方数的差，但不确定是否可表示为二个幂数的差，然而Golomb发现以下的等式

2=3³-5²

10=13³-3⁷

18=19²-7³=3²(3³-5²)

以上的等式未包括6，Golomb猜想有无穷多个奇偶数无法表示为二个幂数的差，不过后来Narkiewicz发现6也可以表示为二个幂数的差：

6=5⁴7³-463²

而且可以找到无限多组的幂数，二个幂数之间的差为6。而McDaniel证明每个整数都有无限多组表示为二个幂数的差的方法^[3]。

保罗·埃尔德什猜想每一个足够大的整数均可表示为最多三个幂数的和，后来由Roger Heath-Brown证实了保罗·埃尔德什的猜想^[4]。

一般化

幂数的素因数分解中，所有的指数均不小于2。以此概念再延伸，若一整数的素因数分解中，所有的指数均不小于k，可称为k-幂数。

(2^k+1}-1)^k, 2^k(2^k+1-1)^k, (2^k+1-1)^k+1

是由k-幂数所组成的等差数列，若a₁, a₂, ..., a_s是由k-幂数所形成的等差数列，公差为d，则

a₁(a_s+d)^k, a₂(a_s+d)^k, ..., a_s(a_s+d)^k, (a_s+d)^k+1

则是由s+1个项k-幂数所组成的等差数列。

以下是一个有关k-幂数的恒等式：

a^k(aⁿ+...+1)^k+a^k+1(aⁿ+...+1)^k+...+a^k+n(aⁿ+...+1)^k=a^k(aⁿ+...+1)^k+1

因此可以找到无穷多组的k-幂数，其个数为n+1个，而这些k-幂数的和也是k-幂数。Nitaj证明了存在无穷多组互素的3-幂数x、y、z，满足x+y=z的形式^[5]。Cohn找到一个可产生无穷多组互素，且非立方数的3-幂数x、y、z，可满足x+y=z的方法：以下的数组

X=9712247684771506604963490444281, Y=32295800804958334401937923416351, Z=27474621855216870941749052236511

是方程式32X³ + 49Y³ = 81Z³的解（因此32X³、49Y³及81Z³即为上述的3-幂数数组）。令X′=X(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49Y³)，再除以其最大公约数即为一组新的解。

関连项目

• 阿喀琉斯数
• 次方数

注解

延伸阅读

• J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439--440. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7(1934), 95--102.
• Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
• D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7, Birkhäuser, Boston, 1988.

外部链接

• Powerful number in mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）

查 论 编 和约数有关的整数分类 简介 素因数分解 约数 元约数 除数函数 素因数 算术基本定理 依约数分解分类 素数 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 幂数 素数幂 平方数 立方数 次方数 阿喀琉斯数 光滑数 正规数 粗糙数 不寻常数 依约数和分类 完全数 殆完全数 准完全数 多重完全数 Hemiperfect数 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number） 超完全数 元完全数 半完全数 本原半完全数 实际数 有许多约数 过剩数 本原过剩数 高过剩数 超过剩数 可罗萨里过剩数 高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number） 奇异数 和真因子和数列有关 不可及数 相亲数 交际数 婚约数 其他 亏数 友谊数 孤独数 卓越数 欧尔调和数 佩服数 节俭数 等数位数 奢侈数