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倒数和发散 .
加性组合 数学中,倒数和发散 的正整数 集
S
=
{
s
0
,
s
1
,
s
2
,
s
3
,
…
}
⊆
N
{\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}\subseteq \mathbb {N} }
是元素倒数 的级数和 发散 的集合,即满足
1
s
0
+
1
s
1
+
1
s
2
+
1
s
3
+
⋯
=
∞
.
{\displaystyle {\frac {1}{s_{0))}+{\frac {1}{s_{1))}+{\frac {1}{s_{2))}+{\frac {1}{s_{3))}+\cdots =\infty .}
下文简称“大集”。与之相反,倒数和收敛 的集合,元素倒数和有限,下文简称“小集”。
如此区分集合的大小,见于蒙兹-萨斯定理 和埃尔德什等差数列猜想 。
如无另外声明,集合皆由正整数构成。
有限集必为小集。
全体正整数集
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
…
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,\dots \))
是大集。换言之,全体正整数的倒数和(称为调和级数 )发散。推而广之,任何等差数列 (即形如
{
a
+
n
d
:
n
∈
Z
≥
0
}
{\displaystyle \{a+nd:n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\))
的集合,其中
a
,
d
{\displaystyle a,d}
皆为正整数)皆是大集。
全体平方数 的集合是小集(其倒数和 为
π
2
/
6
{\displaystyle \pi ^{2}/6}
)。立方数 、四次方数 等亦然。更一般地,任何二次以上的正整数系数多项式 取值的集合必为小集。
2
{\displaystyle 2}
的幂组成的集合
{
1
,
2
,
4
,
8
,
…
}
{\displaystyle \{1,2,4,8,\ldots \))
是小集。对任何等比数列 (即形如
{
a
r
n
:
n
∈
Z
≥
0
}
{\displaystyle \{ar^{n}:n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\))
的集合,其中
a
,
r
{\displaystyle a,r}
皆为正整数,且
r
≥
2
{\displaystyle r\geq 2}
)也有同样的结论。
质数 集已证明为大集(见素数的倒数之和 )。相反,孪生质数 集已证明为小集(见布朗常数 ),不过仍未知是否有无穷多对孪生质数。
虽然质数集为大,质数真幂 (即
p
n
{\displaystyle p^{n))
,其中
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
,
p
{\displaystyle p}
为质数)的集合为小。此性质常用于解析数论 。一般地,完全
n
{\displaystyle n}
次方数 的集合为小,甚至全体幂数 (质因子皆高于一次的数)亦组成小集。
任意b 进制 下,不含某数字的数的集合也是小集。例如十进制 中,不含数字7的数集
{
1
,
2
,
…
,
5
,
6
,
8
,
9
,
…
,
15
,
16
,
18
,
19
,
…
,
65
,
66
,
68
,
69
,
80
,
81
,
…
}
{\displaystyle \{1,2,\dots ,5,6,8,9,\dots ,15,16,18,19,\dots ,65,66,68,69,80,81,\dots \))
是小集。此类集合的倒数和称为肯普纳级数 。
若集合的上密度 非零,则必为大。 小集的子集 仍是小集。
有限个小集之并 仍为小,因为两个收敛级数 之和仍收敛。用集合论 术语复述,即小集组成理想 。
任意小集的补集 为大集。
蒙兹-萨斯定理 断言,集合
S
=
{
s
1
,
s
2
,
s
3
,
…
}
{\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \))
为大,当且仅当由
{
1
,
x
s
1
,
x
s
2
,
x
s
3
,
…
}
{\displaystyle \{1,x^{s_{1)),x^{s_{2)),x^{s_{3)),\dots \))
线性张成 的多项式集,在闭区间的连续函数 空间
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
中稠密 (关于一致范数 拓扑)。此为斯通-魏尔施特拉斯定理 的推广。艾狄胥 提出一个著名问题 ,问不含任意长度等差数列 的集合,是否必为小集。他为此悬赏3000美元,高于自己其他猜想 ,还开玩笑称赏金违反最低工资 法。[1] 后来,悬赏升至5000美元。[2] 截至2021年,问题仍然未解。
一般地,给定某集合的定义,很难分辨该集合是大是小。仍有许多集合的倒数和未知是否收敛。
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