无穷级数
ζ
(
s
)
=
∑
k
=
1
∞
1
k
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s))))
无穷级数
审敛法
项测试 ·
比较审敛法 ·
极限比较审敛法 ·
根值审敛法 ·
比值审敛法 ·
柯西判别法 ·
柯西并项判别法 ·
拉比判别法 ·
高斯判别法 ·
积分判别法 ·
魏尔施特拉斯判别法 ·
贝特朗判别法 ·
狄利克雷判别法 ·
阿贝尔判别法 ·
库默尔判别法 ·
斯托尔兹—切萨罗定理 ·
迪尼判别法
级数
调和级数 ·
调和级数 ·
幂级数 ·
泰勒级数 ·
傅里叶级数
.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:" :"}.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" | ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" - ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)" ";white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)" "}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output ul.cslist,.mw-parser-output ul.sslist{margin:0;padding:0;display:inline-block;list-style:none}.mw-parser-output .cslist li,.mw-parser-output .sslist li{margin:0;display:inline-block}.mw-parser-output .cslist li:after{content:","}.mw-parser-output .sslist li:after{content:";"}.mw-parser-output .cslist li:last-child:after,.mw-parser-output .sslist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-weight:normal;font-size:88%}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit;color:inherit!important}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}
查论编
级数(英语:Series)是数学中一个有穷或无穷的序列例如
之和,即
,如果序列是有穷序列,其和称为有穷级数;反之,称为无穷级数(一般也简称为级数)。
序列
中的项称作级数的通项(或一般项)。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量,也可以是关于其他变量的函数,不一定是一个数。一般的,如果级数的通项是常量,则称之为常数项级数,如果级数的通项是函数,则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。
有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。无穷级数有发散和收敛的区别,称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才会有一个和;发散的无穷级数在一般意义上没有和,但可以用一些别的方式来定义。
无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作
,使用求和符号时记作
或者
,级数收敛时,其和通常被表示为
。
无穷级数的定义
设
是一个无穷序列 :
,其前n项的和称为
的部分和:
![{\displaystyle s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8623bb326777b76cb49041a06740c58eee8adc7)
部分和依次构成另一个无穷序列:
这两个序列合称为一个级数,记作
或者
。
无穷级数的研究历史
将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开,还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。
17世纪,詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数,并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年,布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。
对审敛法的研究
14世纪时,马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则,后来他的学生将其推广。
然而在欧洲,审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数
![{\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma ))x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)))x^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e1883c70ac468723de21e81145fbd7335b0c69)
的论文,提出了一些简单的收敛准则,并对余项和以及收敛半径进行了讨论。
柯西提出了严格的审敛法的重要性,他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的,同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。
1826年,阿贝尔在他的关于二项式级数
![{\displaystyle 1+{\frac {m}{1))x+{\frac {m(m-1)}{2!))x^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec6fa3146d4c1da1f43866db7b7ab4c3e827c48)
的论文中更正了柯西的若干个结论,并给出了二项式级数的严格的求和方法,指出了连续性在收敛问题中的重要性。
柯西提出的审敛法并不是普遍适用的,只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家,比如拉贝(Joseph Ludwig Raabe)的对数判别法,德·摩根的对数判别法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效)
,以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。
对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始,之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。
对一致连续性的研究
1821年,柯西首先开始对一致连续性的研究,但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出,但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究,并得到了与斯托克斯一样的结论。然而,一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。
函数项级数
设
为定义在区间
上的函数列,则表达式:
称为函数项级数,简记为
。对函数项级数的主要研究是:
- 确定对哪些
,
收敛。
收敛的话,其和是什么,有什么性质?
收敛域
对区间
上的每个
,级数
是常数项级数。若
收敛,则称
是
的一个收敛点,
全体收敛点的集合称为它的收敛域。若
发散,则称
是
的一个发散点,
全体发散点的集合称为它的发散域。
在其收敛域的每一点上都有定义,因此定义了一个函数,称为
的和函数,记为
。按照定义,
,其中
为函数项级数在
点上的部分和。
一致收敛
函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义,但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说,当函数项级数
中的每一项
在收敛域上都是连续函数时,和函数未必会是连续函数。以下是一个例子:
- 设
,也就是说
,
等等,它们显然都是连续函数(甚至是光滑函数)。这时函数项级数在
点上的部分和
。在区间
的每一点上,部分和都有极限:
- 当
时,![{\displaystyle S_{n}(x)\rightarrow 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2334fe1349ce369842ace702b1ad33864a92be)
- 当
时,![{\displaystyle S_{n}(x)\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e321eeba07890d2341c4020d9dd673eab616ebba)
- 于是在区间
上,级数
收敛,其和函数
为:
- 当
时,
;
。
- 这不是一个连续函数。
然而,如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话,可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性,这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样,函数项级数
在某个区间
内(关于某个范数
)一致收敛的定义是它的部分和函数
在区间
上一致收敛到和函数
,
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|S-S_{n}\right\|_{\mathcal {I))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ad27f771aae0a1714769647c12e7e0dd966008)
- 或者写成
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}\right\|_{\mathcal {I))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865d2be9035f22aa188fc982c4dd3a11a4d0b17f)
可以证明:
如果级数
在区间
内一致收敛,并且每个
都是连续函数,那么和函数
在区间
上也是连续函数。
进一步的,如果导函数级数的每一项都是
函数(
阶连续可微函数),并且各阶导函数级数
在区间
内都一致收敛,那么级数和函数
也是
函数,并且:
,
。
绝对收敛
函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间
和范数
,函数项级数
在区间
内绝对收敛,当且仅当常数级数
收敛。
绝对收敛的(连续?)函数在每一点都收敛,并且在区间
内一致收敛。[来源请求]
幂级数
形同
的函数项无穷级数称为
的幂级数。一般只需讨论形同
的幂级数。
幂函数的收敛域
根据阿贝尔定理,它的收敛域是一个关于零对称的区间,即为
(可开可闭)的形式。这个正数
(可以是无穷大)叫做幂级数的收敛半径。并有定理:
设幂级数
满足
,则:
是正实数时,
。
时,
。
时,
。
幂级数的和函数
求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分(或求导)以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式,在求和后在对各项求导(或积分)。
渐进级数
渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的,它的部分和趋于无穷大,因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是,渐进级数提供的逼近是相对的,即只是比值趋于一致,与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说,渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差,之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。
发散级数的和
发散级数的部分和没有极限,但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义,比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。
推广
级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义,常用的是在一个巴拿赫空间(比如实数或复数空间)中。