群论
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有限单群分类 循环群 Zn
交错群 An
李型群散在群马蒂厄群 M11..12,M22..24
康威群 Co1..3
扬科群 J1..4
费歇尔群(英语:
Fischer group)F22..24
子魔群(英语:
sub monster group) B
魔群 M
其他有限群
对称群, Sn
二面体群, Dn
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)
连续群
李群一般线性群 GL(n)
特殊线性群 SL(n)
正交群 O(n)
特殊正交群 SO(n)
酉群 U(n)
特殊酉群 SU(n)
辛群 Sp(n)
G2 F4
E6 E7
E8
劳仑兹群庞加莱群
无限维群
共形群微分同胚群
环路群
量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群
椭圆曲线线性代数群(英语:
Linear algebraic group)
阿贝尔簇(英语:
Abelian variety)
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查论编
阿贝尔群(Abelian group)也称为交换群(commutative group)或可交换群,它是满足其元素的运算不依赖于它们的次序(交换律公理)的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。
阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和向量空间。阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群已经被较为彻底地研究了。无限阿贝尔群理论则是目前正在研究的领域。
定义
群
对于所有的
,都满足
(交换律)的话,称
为阿贝尔群或交换群,反之被称为“非阿贝尔群”或“非交换群”。
符号
群有两种主要表示运算的符号—加法和乘法。
运算
|
表示法
|
单位元
|
幂
|
逆元
|
加法运算
|
![{\displaystyle x+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb4441dccedb5ede51a213408b17cf83eec9a27) |
0 |
![{\displaystyle nx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0462a4bf178bdace9596b456bd51467de65f54d2) |
|
乘法运算
|
或 ![{\displaystyle xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72eb345e496513fb8b2fa4aa8c4d89b855f9a01) |
1
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乘法符号是群的常用符号,而加法符号是模的常用符号。当同时考虑阿贝尔群和非阿贝尔群时,加法符号还可以用来强调阿贝尔群是特定群。
乘法表
验证有限群是阿贝尔群,可以构造类似乘法表的一种表格(或说矩阵),称为凯莱表。如果群
在运算
下,则这个表的
元素即是
。群是阿贝尔群当且仅当这个表是关于主对角线是对称的(或说这个矩阵是对称矩阵)。这是因为对于阿贝尔群,
,即表格中的
元素等于
元素。如下表所示:
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![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467) |
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历史注记
阿贝尔群是Camille Jordan以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名的,他首先察觉到了阿贝尔首先发表的这种群与根式可解性的联系的重要性。
有限阿贝尔群
整数模以
的循环群
是最常见的群的例子。已证实了任意有限阿贝尔群都同构于素数阶的有限循环群的直和,并且这些阶数是唯一确定的,形成了一个不变量(invariant)的完备系统。有限阿贝尔群的自同构群可以依据这些不变量来直接描述。有关理论最初发展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和Ludwig Stickelberger在1879年的论文,后来被简化和推广到在主理想整环上的有限生成模,形成了线性代数的一个重要组成部分。
分类
有限阿贝尔群的基本定理声称所有有限阿贝尔群
都可以表达为素数幂阶的循环子群的直和。这是有限生成阿贝尔群的基本定理在
有零秩时的特殊情况。
阶的循环群
同构于
与
的直和,当且仅当
与
是互素的。可推出任何有限阿贝尔群
同构于如下形式的直和
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1))\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c110d5a26562de683c66856ebfec0d39f33133dd)
以任何下列规范方式:
- 数
是素数的幂
整除
,它又整除
,如此直到
。
例如,
可以被表达为3阶和5阶的两个循环群的直和:
。对于任何15阶的阿贝尔群这也成立,导致了所有15阶阿贝尔群都是同构的显著结论。
另一个例子,所有8阶段阿贝尔群都同构于要么
(整数0到7在模8加法下),
(奇数1到15在模16乘法下),要么
。
小于等于16阶的有限阿贝尔群可参见小群列表。
自同构
可以应用基本定理去计数(有时确定)给定有限阿贝尔群
的自同构。要这么做,可利用如果
分解为互素阶的子群的直和
,则
的事实。
基本定理证明了要计算
的自同构群,分别计算西罗
-子群的自同构群就足够了(也就是所有的循环子群的直和,每个都有
的幂的阶)。固定一个素数
并假设西罗
-子群的循环因子的指数
是按递增次序安排的:
![{\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c0f9b3c06a1af8ac01f1f5156579e0a4031c79)
对于某个
。需要找到
![{\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1))}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b7bcbde23e18ef3da7ea5b9b9127daf745e3ce)
的自同构。一个特殊情况是在
的时候,此时在西罗
-子群
中只有唯一一个循环素数幂因子。在这个情况下可以使用有限循环群的自同构的理论。另一个特殊情况是在
为任意的但
对于
的时候。这里考虑
为有着形式
![{\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d98de65ec8f4716f4954ff0c10c6858e37209ab)
所以这个子群的元素可以被看作构成了在
元素的有限域
上的
维向量空间。这个子群的自同构因此给出为可逆线性变换,因此
![{\displaystyle \mathrm {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbb {F} _{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfab919090d8eaea8e843ee6556d4b3e5eb2aba)
它早先证明了有阶
![{\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b40044f596be3466740ca5f9ef0ee78b05db815)
在最一般情况下,这里的
和
是任意的,自同构群更难于确定。但是已经知道了如果定义
![{\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{\,}\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbb5e7becaa3a6c7ea920130e7759f4a672dfe6)
并且
![{\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c011b2a6ea51ffc76208983bd45854ffdf1fe5)
则有着特别的
,
,并且
。
可以检查这会生成作为特殊情况的前面例子的阶(参见[Hillar, Rhea])。
引用
- Fuchs, László(1970)Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp. MR0255673
- ------(1973)Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp. MR0349869
- Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1970. ISBN 0-226-30870-7.
- Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆).
- Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.