数学上的单群（英语：Simple group）是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，若尔当-赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。在2008年完成的有限单群分类工作是数学史上一个重要的里程碑。

定义

设 ${\displaystyle (G,*)}$ 为群，如果其内的正规子群只有 ${\displaystyle G}$ 本身与单位元${\displaystyle e}$组成的群（平凡群）${\displaystyle \{e\))$，则称之为单群。

例子

有限单群

循环群G = Z/3Z，即模3的同余类在加法运算下形成的群是单群。这是因为，若H是这个群的一个子群，则它的阶一定是群G的阶3的约数，因为3是素数，所以H只能是G或者平凡群。另一方面，群G=Z/12Z就不是单群。因为任意阿贝尔群的子群一定是正规子群，且12为合数，故很容易找到它的一个非平凡正规子群。例如，由模12余0，4，8的同余类组成的子群就是它的一个阶为3的正规子群。类似地，整数集 Z 与加法运算组成的群也不是单群，由偶数集2Z和加法组成的群是它的一个非平凡正规子群^[1]。

按照上面的方法可以证明，阿贝尔单群只有素数阶循环群。最小的非阿贝尔单群是交错群 ${\displaystyle A_{5))$ ，它的阶是60，而且可以证明每一个阶为60的单群都与 ${\displaystyle A_{5))$ 同构^[2]。第二小的非阿贝尔单群是射影特殊线性群${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$ ，它的阶是168。可以证明，阶为168的单群都与 ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$ 同构^[3][4]。

${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$是有限域上的典型群的一个例子，它也是一个有限阶李群。除了素数阶循环群、交错群和有限阶李群（包括典型群和例外或缠绕李群）之外的有限单群统称为散在群，详见有限单群分类。

无限阶单群

无限阶交错群，即由整数的所有偶置换组成的群${\displaystyle A_{\infty ))$是单群。另一个无限阶单群的例子是域${\displaystyle F}$上的射影特殊线性群${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(F)}$，其中 ${\displaystyle n\geq 3}$。

相比之下，要构造有限生成的无限阶单群就困难得多，最早的例子由格雷厄姆·希格曼（英语：Graham Higman）提出，它是希格曼群（英语：Higman group）的子群^[5]。 其它的例子包括汤普森群 T 和 V。有限表现无挠(torsion-free)的无限单群被伯格-莫泽什(Burger-Mozes)构建。^[6]

分类

到目前为止，未有对一般单群进行分类的方法。

有限单群

有限单群是很重要的，因为在一定意义上，它们是所有有限群的“基本组成部分”，有点类似于素数是整数的基本组成部分。

有限单群的结构

法伊特-汤普森定理声称，所有的奇数阶群都是可解群。 因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数。

群的非单性判据

西罗测试：设n为一正合数，p是它的一个素因子。 若在n的所有约数中只有 1 模p同余于 1，则不存在阶为n的单群。

证明：如n为一素数幂，则阶数为n的群有非平凡的中心^[7]，因而不是单群。若n不是素数幂，则阶数为n的群的每一个西罗子群都是真子群，由西罗第三定理可知， 阶数为n的群的西罗p-子群的个数模p同余于1且为n的约数。但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗p-子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为n的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为n的群不是单群。

另一个证明一个群不是单群的方法是利用同态映射，因为对于一个群${\displaystyle G}$而言，其子群${\displaystyle H}$是正规子群，当且仅当${\displaystyle H}$是某个关于${\displaystyle G}$的同态映射的核。

重要性

“单群”之“单”在于它们不能再化约为较容易处理的群，因为正规子群 ${\displaystyle H}$ 可以对将 ${\displaystyle G}$ 的一部分研究化约为对商群 ${\displaystyle G/H}$ 与 ${\displaystyle H}$ 的研究，而对单群无法行此化约。

有限单群之于有限群论，一如素数之于整数论；它们可以被视为有限群的基本构件。

参阅

• 特征单群（英语：Characteristically simple group）
• 准单群（英语：Quasisimple group）
• 有限单群列表（英语：List of finite simple groups）

参考文献

教科书

• Knapp, Anthony W., Basic algebra, Springer, 2006, ISBN 978-0-8176-3248-9 
• Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics 148, Springer, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8 
• Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga, Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series 2, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-235-8 

外部链接

• simplicity of the alternating groups. PlanetMath.