群论
群
基本概念
子群 ·
正规子群 ·
商群 ·
群同态 ·
像 · (
半)
直积 ·
直和单群 ·
有限群 ·
无限群 ·
拓扑群 ·
群概形 ·
循环群 · 幂零群 ·
可解群 ·
圈积
离散群
有限单群分类 循环群 Zn
交错群 An
李型群散在群马蒂厄群 M11..12,M22..24
康威群 Co1..3
扬科群 J1..4
费歇尔群（英语：
Fischer group）F22..24
子魔群（英语：
sub monster group） B
魔群 M
其他有限群
对称群, Sn
二面体群, Dn
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)
连续群
李群一般线性群 GL(n)
特殊线性群 SL(n)
正交群 O(n)
特殊正交群 SO(n)
酉群 U(n)
特殊酉群 SU(n)
辛群 Sp(n)
G2 F4
E6 E7
E8
劳仑兹群庞加莱群
无限维群
共形群微分同胚群
环路群
量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群
椭圆曲线线性代数群（英语：
Linear algebraic group）
阿贝尔簇（英语：
Abelian variety）
.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:" :"}.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" | ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" - ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)" ";white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)" "}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output ul.cslist,.mw-parser-output ul.sslist{margin:0;padding:0;display:inline-block;list-style:none}.mw-parser-output .cslist li,.mw-parser-output .sslist li{margin:0;display:inline-block}.mw-parser-output .cslist li:after{content:"，"}.mw-parser-output .sslist li:after{content:"；"}.mw-parser-output .cslist li:last-child:after,.mw-parser-output .sslist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}
查论编
在群论里，幂零群为一拥有几乎可换之特殊性质的群，经由交换子（[x,y] = x-1y-1xy）的重复应用。幂零群诞生于伽罗瓦理论和对群的分类之中。其对李群的分类亦具有很重要的功用。
定义
首先先定义群G的降中央列，其为一系列的群G = A0、A1、A2、...、Ai，其中每个Ai+1 = [Ai, G]为所有由Ai中的x及G中的y所算出的所有交换子[x,y]所产生出来的G的子群。因此，A1=[G,G]=G1为G的导群，而A2 = [G1, G]，以此类推。
若G为可换的，则[G,G] = E，即为其平凡子群。将此一概念延伸，则可定义一个群G为幂零的，若其存在一自然数n使得An为平凡的。若n为可使得An的最小自然数，则称此一群G为n级幂零。每一个阿贝尔群都是1级幂零，除了平凡群之外，其为0级幂零。若一个群为至少m级幂零，则有时称其为零m群。
做为证明此一名词幂零使用的正当性，先取一幂零群G及其内一元素g并定义一函数f: G → G 为f(x) = [x,g]。则这一函数为幂零的，因为其存在一自然数n使得fn，即f的n次递归，将每一个G内的元素x映射至单位元。
另一个定义幂零群的等价方法为采取升中央列之方式，其为一系列的群E = Z0、Z1、Z2、...、Zi，其中每个接续的群之定义为：
![{\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G|\forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd122065cf610ddbc1c082b8ec60c0e37af4fdc9)
在此定义下，Z1为G的中心，且对于其每个接续的群而言，其商群Zi+1/Zi皆为G/Zi的中心。对一阿贝尔群来说，Z1简单为G；而一个群被称为n级幂零，若有一最小的n使得Zn = G。
上述两种定义为等价的：降中央列会到达其平凡子群E当且仅当其升中央列可以达到G；此外，其n最小值在两者中也会是一样的。
例子
如上面所述，每一个阿贝尔群均为幂零。
一个小的非阿贝尔群之例子为四元群Q8。其有两个元素{1, −1}所组成的中心，且其降中央列为{1}、{1, −1}、Q8；所以其为2级幂零。实际上，每个有限多个有限p-群的直积皆是幂零的。
海森堡群为非阿贝尔幂零群的另一个例子。
性质
当每个接续的商群Zi+1/Zi皆为可换的，其序列为有限个的，且每一个幂零群都为一具有较简单结构的可解群。
每一个n级幂零群的子群均为至少n级幂零；另外，若f为n级幂零群的同态，f的值域则为至少n级幂零的。
下列的叙述在有限群中均为等价，表现出一个幂零性的有用性质：
- G为一幂零群。
- 若H为G的纯子群，则H为N(H)（G内H之正规化子）的纯正规子群。
- 每一个G的最大纯子群均为正规的。
- G为其西洛子群的直积。
最后一个叙述可以被延伸至无限群的状况下：若G为一幂零群，则G的每一个西洛子群Gp都是正规的，且其西洛子群的直积会是G内有限目的所有元素所组成之子群。（见挠子群）。
