在抽象代数 中，域 （德语：Körper ，英语：Field ）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构 ），且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上，域 正是数域 四则运算 的推广，所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。
域是环 的一种。但区别在于域要求它的非零元素可以做除法，且域的乘法有交换律。
最有名的域结构的例子就是有理数域、实数域还有复数域。还有其他形式的域，例如有理函数域、代数函数域、代数数域、p进数域等，都很常在数学的领域中被使用或是研究，特别是数论或是代数几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠着有限域。
在两个域中的关系被表示成域扩张的观念。Galois理论，由ÉvaristeGalois在1830年代提出，致力于理解域扩展的对称性。其中Galois理论还有其他结果，解决了不能用尺规作图做出三等份角以及化方为圆的问题。此外，还解决了五次方程不能有公式解的问题。
正式定义
给定集合
K
{\displaystyle K}
二元运算 ：
+
:
K
×
K
→
K
{\displaystyle +:K\times K\to K}
+
(
a
,
b
)
{\displaystyle +(a,\,b)}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
×
:
K
×
K
→
K
{\displaystyle \times :K\times K\to K}
×
(
a
,
b
)
{\displaystyle \times (a,\,b)}
a
×
b
{\displaystyle a\times b}
a
⋅
b
{\displaystyle a\cdot b}
a
b
{\displaystyle ab}
满足：
(
K
,
+
)
{\displaystyle \left(K,\,+\right)}
交换群 ，且其单位元为
0
K
{\displaystyle 0_{K))
(
K
−
{
0
K
}
,
×
)
{\displaystyle \left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)}
交换群 。分配律 ：对所有
a
,
b
,
c
∈
K
{\displaystyle a,\,b,\,c\in K}
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c
{\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}
(
b
+
c
)
×
a
=
b
×
a
+
c
×
a
{\displaystyle (b+c)\times a=b\times a+c\times a}
那称“
(
K
,
+
,
×
)
{\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
(
K
,
+
,
×
)
{\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
K
{\displaystyle K}
惯用符号与称呼
(1)域的代号：
有时会基于德语 Körper ，以字母
K
{\displaystyle K}
英语 Field 以
F
{\displaystyle F}
(2)加法与乘法：
习惯上，
×
{\displaystyle \times }
乘法 ，
(
K
−
{
0
K
}
,
×
)
{\displaystyle \left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)}
1
K
{\displaystyle 1_{K))
(
K
,
+
,
×
)
{\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
乘法单位元 。
类似地，
+
{\displaystyle +}
加法 ，
0
K
{\displaystyle 0_{K))
加法单位元 。所以在省略括弧后，仍依照先乘后加 的方式阅读。
(3)减法与除法：
对于任意
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,\,b\in K}
群的习惯 ，将
a
{\displaystyle a}
−
a
{\displaystyle -a}
b
+
(
−
a
)
{\displaystyle b+(-a)}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
减法 。
类似地，若
a
≠
0
K
{\displaystyle a\neq 0_{K))
a
{\displaystyle a}
1
a
{\displaystyle {\frac {1}{a))}
b
×
1
a
{\displaystyle b\times {\frac {1}{a))}
b
a
{\displaystyle {\frac {b}{a))}
除法 。
基本性质
证明
根据分配律和加法单位元的性质会有
a
×
0
k
=
a
×
(
0
K
+
0
k
)
=
a
×
0
K
+
a
×
0
K
{\displaystyle a\times 0_{k}=a\times (0_{K}+0_{k})=a\times 0_{K}+a\times 0_{K))
0
k
×
a
=
(
0
K
+
0
k
)
×
a
=
0
k
×
a
+
0
k
×
a
{\displaystyle 0_{k}\times a=(0_{K}+0_{k})\times a=0_{k}\times a+0_{k}\times a}
这样的话，根据加法结合律还有加法单位元的性质有
0
K
=
−
(
a
×
0
K
)
+
a
×
0
K
=
−
(
a
×
0
K
)
+
(
a
×
0
K
+
a
×
0
K
)
=
[
−
(
a
×
0
K
)
+
a
×
0
K
]
+
a
×
0
K
=
0
K
+
a
×
0
K
=
a
×
0
K
{\displaystyle {\begin{aligned}0_{K}&=-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}\\&=-(a\times 0_{K})+(a\times 0_{K}+a\times 0_{K})\\&=[-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}]+a\times 0_{K}\\&=0_{K}+a\times 0_{K}\\&=a\times 0_{K}\end{aligned))}
0
K
=
−
(
0
k
×
a
)
+
0
k
×
a
=
−
(
0
k
×
a
)
+
(
0
k
×
a
+
0
k
×
a
)
=
[
−
(
0
k
×
a
)
+
0
k
×
a
]
+
0
k
×
a
=
0
K
+
0
k
×
a
=
0
k
×
a
{\displaystyle {\begin{aligned}0_{K}&=-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a\\&=-(0_{k}\times a)+(0_{k}\times a+0_{k}\times a)\\&=[-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a]+0_{k}\times a\\&=0_{K}+0_{k}\times a\\&=0_{k}\times a\end{aligned))}
故得证。
◻
{\displaystyle \Box }
以上的定理也证明了，只要
(
K
,
+
)
{\displaystyle \left(K,\,+\right)}
交换群 且有分配律，就足以决定
0
K
{\displaystyle 0_{K))
0
K
{\displaystyle 0_{K))
系理 （乘法结合律 ） —
(
K
,
+
,
×
)
{\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}
a
,
b
,
c
∈
K
{\displaystyle a,\,b,\,c\in K}
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
{\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}
证明
根据乘法交换律跟分配律有
(
a
×
b
)
+
[
(
−
a
)
×
b
]
=
(
b
×
a
)
+
[
b
×
(
−
a
)
]
=
b
×
(
a
−
a
)
=
b
×
0
K
{\displaystyle {\begin{aligned}(a\times b)+[(-a)\times b]&=(b\times a)+[b\times (-a)]\\&=b\times (a-a)\\&=b\times 0_{K}\end{aligned))}
这样根据定理(1)和加法交换律就有
(
a
×
b
)
+
[
(
−
a
)
×
b
]
=
[
(
−
a
)
×
b
]
+
(
a
×
b
)
=
0
K
{\displaystyle (a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0_{K))
所以
−
(
a
×
b
)
=
[
(
−
a
)
×
b
]
{\displaystyle -(a\times b)=[(-a)\times b]}
再考虑到乘法的交换律有
−
(
a
×
b
)
=
−
(
b
×
a
)
=
(
−
b
)
×
a
=
a
×
(
−
b
)
{\displaystyle -(a\times b)=-(b\times a)=(-b)\times a=a\times (-b)}
故得证。
◻
{\displaystyle \Box }
证明
根据乘法的结合律和交换律，还有乘法单位元的性质会有
(
1
a
×
1
b
)
×
(
a
×
b
)
=
(
1
b
×
1
a
)
×
(
a
×
b
)
=
1
b
×
[
1
a
×
(
a
×
b
)
]
=
1
b
×
[
(
1
a
×
a
)
×
b
]
=
1
b
×
(
1
K
×
b
)
=
1
b
×
b
=
1
K
=
(
a
×
b
)
×
(
1
a
×
1
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{a))\times {\frac {1}{b))\right)\times (a\times b)&=\left({\frac {1}{b))\times {\frac {1}{a))\right)\times (a\times b)\\&={\frac {1}{b))\times \left[{\frac {1}{a))\times (a\times b)\right]\\&={\frac {1}{b))\times \left[\left({\frac {1}{a))\times a\right)\times b\right]\\&={\frac {1}{b))\times (1_{K}\times b)\\&={\frac {1}{b))\times b\\&=1_{K}\\&=(a\times b)\times ({\frac {1}{a))\times {\frac {1}{b)))\end{aligned))}
故得证。
◻
{\displaystyle \Box }
证明
如果
K
−
{
0
K
}
=
∅
{\displaystyle K-\{0_{K}\}=\varnothing }
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
a
=
0
K
{\displaystyle a=0_{K))
K
−
{
0
K
}
≠
∅
{\displaystyle K-\{0_{K}\}\neq \varnothing }
假设存在
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,\,b\in K}
a
≠
0
K
{\displaystyle a\neq 0_{K))
b
≠
0
K
{\displaystyle b\neq 0_{K))
a
×
b
=
0
K
{\displaystyle a\times b=0_{K))
1
K
=
(
1
a
×
1
b
)
×
(
a
×
b
)
=
(
1
a
×
1
b
)
×
0
K
=
0
K
{\displaystyle {\begin{aligned}1_{K}&=({\frac {1}{a))\times {\frac {1}{b)))\times (a\times b)\\&=({\frac {1}{a))\times {\frac {1}{b)))\times 0_{K}\\&=0_{K}\end{aligned))}
这显然是矛盾的，所以根据反证法 和德摩根定理 ，对所有的
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,\,b\in K}
a
,
b
{\displaystyle a,\,b}
0
K
{\displaystyle 0_{K))
a
×
b
≠
0
K
{\displaystyle a\times b\neq 0_{K))
“对所有
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,\,b\in K}
a
×
b
=
0
K
{\displaystyle a\times b=0_{K))
a
,
b
{\displaystyle a,\,b}
0
K
{\displaystyle 0_{K))
故得证。
◻
{\displaystyle \Box }
域F 中的所有非零元素的集合（一般记作F × ）是一个关于乘法的阿贝尔群 。F × 的每个有限子群都是循环群 。
若存在正整数n 使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n 个1），那么这样的n 中最小的一个称为这个域的特征 ，特征要么是一个素数p ，要么是0（表示这样的n 不存在）。此时
F
{\displaystyle F}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p))
F
{\displaystyle F}
素域 。
一个交换环是域当且仅当它的理想 只有自身和零理想。
在选择公理 成立的假设下，对每个域F 都存在着唯一的一个域G （在同构意义上），G 包含F ，G 是F 的代数扩张 ，并且G 代数封闭 。G 称作由F 确定的代数闭包 。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G 是F 的一个代数闭包。
有限域
有限域是一个域有着有限多个元素，其元素个数也跟域的阶数相同，按照域的定义，可以知道
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2))
1
≠
0
{\displaystyle 1\neq 0}
通常来说，最简单的素数阶域，就是
Z
/
p
Z
=
{
0
,
1
,
.
.
.
p
−
1
}
{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...p-1\))
p
{\displaystyle p}
Z
{\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } }
p
{\displaystyle p}
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p))
Z
/
n
Z
=
{
0
,
1
,
.
.
.
n
−
1
}
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\))
Z
/
4
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }
2
×
2
=
0
{\displaystyle 2\times 2=0}
(
{
1
,
2
,
3
}
,
×
)
{\displaystyle (\{1,2,3\},\times )}
如果我们将向量空间
V
=
F
p
/
m
n
{\displaystyle {\mathit {V))=\mathbb {F} _{p}/m^{n))
n
=
dim
V
{\displaystyle n=\dim {\mathit {V))}
p
n
{\displaystyle p^{n))
如果我们将有限域放入矩阵，也就是
G
L
n
(
F
p
)
{\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{p})}
(
p
n
−
1
)
(
p
n
−
p
)
.
.
.
(
p
n
−
p
n
−
1
)
{\displaystyle (p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})}
历史
历史上，三个代数中的学科导引到了域的概念:第一个是解多项式方程的问题，第二个是代数数论，第三个则是代数几何的问题。域的概念始于1770年，由拉格朗日 所提出。拉格朗日他观察到关于三次方程的根x 1 , x 2 , x 3
(x 1 + ωx 2 + ω2 x 3 )3
(其中ω 希皮奥内·德尔·费罗 和 弗朗索瓦·韦达 的经典解法，其解法借由简化三次方程关于未知 x x 3
![{\displaystyle {\begin{aligned}0_{K}&=-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}\\&=-(a\times 0_{K})+(a\times 0_{K}+a\times 0_{K})\\&=[-(a\times 0_{K})+a\times 0_{K}]+a\times 0_{K}\\&=0_{K}+a\times 0_{K}\\&=a\times 0_{K}\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd7595191ba6fbf6e35f33919411f2214f28f41)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0_{K}&=-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a\\&=-(0_{k}\times a)+(0_{k}\times a+0_{k}\times a)\\&=[-(0_{k}\times a)+0_{k}\times a]+0_{k}\times a\\&=0_{K}+0_{k}\times a\\&=0_{k}\times a\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00960de13616ddcbb2df2f0f34cc1966270e50f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a\times b)+[(-a)\times b]&=(b\times a)+[b\times (-a)]\\&=b\times (a-a)\\&=b\times 0_{K}\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ea1213877e61ac21e27f7b02fbc82793c01162)
![{\displaystyle (a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0_{K))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d775d6fcaa4642fcff12a544ea5626352cd60e)
![{\displaystyle -(a\times b)=[(-a)\times b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc3913794d881f09f968f076999e26fcd801a49)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{a))\times {\frac {1}{b))\right)\times (a\times b)&=\left({\frac {1}{b))\times {\frac {1}{a))\right)\times (a\times b)\\&={\frac {1}{b))\times \left[{\frac {1}{a))\times (a\times b)\right]\\&={\frac {1}{b))\times \left[\left({\frac {1}{a))\times a\right)\times b\right]\\&={\frac {1}{b))\times (1_{K}\times b)\\&={\frac {1}{b))\times b\\&=1_{K}\\&=(a\times b)\times ({\frac {1}{a))\times {\frac {1}{b)))\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894521036258306f9c5e313e1118af2d04e231d4)
