环论
基础概念 环 • 子环 • 商环 • 完全商环（英语：Total ring of fractions） • 环的直积（英语：Product ring） • 多项式环 • 矩阵环 理想 • 核 • 质理想 • 准质理想 • 极大理想 • 主理想 • 分式理想 • 根理想 • 幂零理想 • 雅各布森根 • 分式理想 环同态 • 核 • 内自同构 • 弗罗贝尼乌斯自同态 代数结构 • 模 • 代数 • 结合代数 • 阶化环（英语：Graded ring） • *-代数（英语：*-algebra） • 环的范畴（英语：Category of rings） 相关结构 • 体 • 有限体 • 非结合环（英语：Non-associative algebra） • 李环 • 约尔旦环（英语：Jordan algebra） • 半环 • 半体（英语：Semifield）
交换代数 交换环 • 整环 • 整闭整环（英语：Integrally closed domain） • GCD环 • 唯一分解整环 • 主理想整环 • 欧几里得整环 • 复合环（英语：Composition ring） • 多项式环 • 形式幂级数环 代数数论 • 代数数体 • 整数环（英语：Ring of integers） • 代数独立 • 超越数论 • 超越次数 P进数 • P整数 • P有理数 代数几何 • 仿射簇（英语：Affine variety）
非交换代数（英语：Noncommutative ring） 非交换环（英语：Noncommutative ring） • 除环 • 半本原环（英语：Semiprimitive ring） • 单环 • 交换子 非交换代数几何（英语：Noncommutative algebraic geometry） 自由代数（英语：Free algebra） 克利福德代数 算子代数（英语：Operator algebra）
查 论 编

在数学中，交换环上的代数或多元环是一种代数结构，上下文不致混淆时通常迳称代数。

本页面中的环都是指有单位的环，并使用么环一词表示则是不一定有单位的环。

定义

给定一个交换环 ${\displaystyle A}$ 。

代数

给定一个四元组 ${\displaystyle (E,+,.,\times )}$ 。如果以下两个条件成立：

1. ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$ 是一个 ${\displaystyle A}$-模。
2. ${\displaystyle \times }$是一个 ${\displaystyle E}$ 的内部运算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$），并且是${\displaystyle A}$-双线性的。也就是说内部运算${\displaystyle \times }$符合以下三点：
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad (x+y)\times z=x\times z+y\times z}$
   • ${\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad x\times (y+z)=x\times y+x\times z}$
   • ${\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}$

那么我们说四元组 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$ 是一个 ${\displaystyle A}$ 上的代数（或称 ${\displaystyle A}$-代数），或简称集合 ${\displaystyle E}$ 是一个${\displaystyle A}$-代数。

结合代数、有单位的代数、交换代数

设 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$ 为一个 ${\displaystyle A}$-代数。

• 如果内部运算${\displaystyle \times }$符合结合律，那么我们说 ${\displaystyle E}$ 是一个结合代数。
• 如果内部运算${\displaystyle \times }$有一个单位元（即 ${\displaystyle \exists 1_{E}\in E,\forall x\in E,1_{E}\times x=x=x\times 1_{E))$），那么此单位元是唯一的并且我们说 ${\displaystyle E}$ 是一个有单位的代数。
• 如果内部运算${\displaystyle \times }$符合交换律，那么我们说 ${\displaystyle E}$ 是一个交换代数。

注：有些作者用结合代数来称呼结合且有单位的代数，或是用交换代数来称呼结合、有单位且交换的代数。本页面使用上述段落给的定义而不采用这些称呼。

等价定义

一样给定一个交换环 ${\displaystyle A}$ 。

给定一个四元组 ${\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )}$ 。 这是一个${\displaystyle A}$上的结合代数（${\displaystyle resp.}$结合且有单位的代数、${\displaystyle resp.}$结合、有单位且交换的代数）当且仅当以下三个条件成立：

1. ${\displaystyle (E,+,\cdot )}$ 是一个 ${\displaystyle A}$-模。
2. ${\displaystyle (E,+,\times )}$ 是一个环（${\displaystyle resp.}$一个幺环、${\displaystyle resp.}$一个交换环）。
3. ${\displaystyle \times }$是一个 ${\displaystyle E}$ 的内部运算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$），并且是${\displaystyle A}$-双线性的。

注：上述条件中的第三个条件在第一及第二条件成立下等价为：

• ${\displaystyle \times }$是一个 ${\displaystyle E}$ 的内部运算（即${\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E}$），并符合${\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}$

上述只是将最初定义重整理一次。然而我们可以用别种结构来理解结合且有单位的代数：

• 给定一个结合且有单位的 ${\displaystyle A}$-代数 ${\displaystyle E}$ 就等于给定一个二元组 ${\displaystyle (E,f)}$：其中 ${\displaystyle E}$ 是一个环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一个满足${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$ 的环同态。（${\displaystyle Z(E)}$ 代表环 ${\displaystyle E}$ 的中心，也就是 ${\displaystyle Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E,x\times y=y\times x\))$）。

原因是如果 ${\displaystyle E}$ 是一个结合且有单位的${\displaystyle A}$-代数，那么 ${\displaystyle E}$ 是一个环并且 ${\displaystyle f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_{E}\in E}$ 是一个环同态，满足${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$。反过来看，如果 ${\displaystyle E}$ 是一个环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一个满足 ${\displaystyle f(A)\subset Z(E)}$ 的环同态，那么我们可以定义外部运算${\displaystyle \cdot :A\times E\to E,(a,x)\longmapsto f(a)\times x}$（即${\displaystyle a\cdot x{\overset {\underset {\mathrm {def} }{)){=))f(a)\times x}$）。${\displaystyle E}$ 上环的结构与此外部运算结构使其成为一个 ${\displaystyle A}$-模并且成为一个结合且有单位的 ${\displaystyle A}$-代数。

将上述性质套用在交换环上，我们便可得到结合、有单位且交换的代数的另一种看法：

• 给定一个结合、有单位且交换的 ${\displaystyle A}$-代数 ${\displaystyle E}$ 就等于给定一个二元组 ${\displaystyle (E,f)}$：其中 ${\displaystyle E}$ 是一个交换环，而 ${\displaystyle f:A\rightarrow E}$ 是一个的环同态。

代数同态

设 ${\displaystyle E,F}$ 是 ${\displaystyle A}$-代数，${\displaystyle A}$-模间的同态 ${\displaystyle \phi :E\rightarrow F}$ 被称作 ${\displaystyle A}$-代数间的同态，当且仅当它满足 ${\displaystyle \forall x,y\in E,\;\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}$。因此所有 ${\displaystyle A}$-代数构成一个范畴，也可以探讨代数间的同构。详阅主条目代数同态。

结构常数

设 ${\displaystyle E}$ 是 ${\displaystyle A}$-代数。当 ${\displaystyle E}$ 是个自由的有限秩 ${\displaystyle A}$-模（当 ${\displaystyle A}$ 为域且${\displaystyle \dim _{A}E<\infty }$ 时自动成立）时，可选定一组基底 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n))$，并将乘法写作

${\displaystyle e_{i}e_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}e_{k}\quad }$ （采用爱因斯坦记号）

此时常数 ${\displaystyle c_{ij}^{k}\in A}$ 称作 ${\displaystyle E}$ 对基底 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n))$ 的结构常数。

例子

• 对于${\displaystyle n\geq 2}$，矩阵环 ${\displaystyle {\mathcal {M))_{n}(\mathbb {R} )}$ 附上矩阵乘法是一个非交换但结合且有单位的${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。
• 对二阶以上的矩阵环，假设域的特征不等于 2。定义新的乘法为 ${\displaystyle \{X,Y\}=(XY+YX)/2}$，此时得到一个交换、非结合、无单位的代数。这是一个约当代数的例子。
• 欧氏空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ 对其外积构成一个非交换、非结合且无单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。这是一个李代数的例子。
• 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 是一个非交换但结合且有单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。
• 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 是一个非交换、非结合但有单位的 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。
• 考虑所有在正无穷有极限且极限为0的函数${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$所形成的集合，附上一般的运算会是一个结合且交换但无单位的${\displaystyle \mathbb {R} }$-代数。

除了交换结合代数外，一般常研究的几类代数包括李代数、克利福德代数、约当代数等等。近来一些物理学家运用的几何代数也是一例。

代数上也可以赋予拓扑结构，并要求代数运算是连续的；最突出的例子是巴拿赫代数，这是现代泛函分析的基石之一。

参见

• 结合代数
• 代数同态
• 李代数

文献

• Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6