环论
基础概念 环 • 子环 • 商环 • 完全商环（英语：Total ring of fractions） • 环的直积（英语：Product ring） • 多项式环 • 矩阵环 理想 • 核 • 质理想 • 准质理想 • 极大理想 • 主理想 • 分式理想 • 根理想 • 幂零理想 • 雅各布森根 • 分式理想 环同态 • 核 • 内自同构 • 弗罗贝尼乌斯自同态 代数结构 • 模 • 代数 • 结合代数 • 阶化环（英语：Graded ring） • *-代数（英语：*-algebra） • 环的范畴（英语：Category of rings） 相关结构 • 体 • 有限体 • 非结合环（英语：Non-associative algebra） • 李环 • 约尔旦环（英语：Jordan algebra） • 半环 • 半体（英语：Semifield）
交换代数 交换环 • 整环 • 整闭整环（英语：Integrally closed domain） • GCD环 • 唯一分解整环 • 主理想整环 • 欧几里得整环 • 复合环（英语：Composition ring） • 多项式环 • 形式幂级数环 代数数论 • 代数数体 • 整数环（英语：Ring of integers） • 代数独立 • 超越数论 • 超越次数 P进数 • P整数 • P有理数 代数几何 • 仿射簇（英语：Affine variety）
非交换代数（英语：Noncommutative ring） 非交换环（英语：Noncommutative ring） • 除环 • 半本原环（英语：Semiprimitive ring） • 单环 • 交换子 非交换代数几何（英语：Noncommutative algebraic geometry） 自由代数（英语：Free algebra） 克利福德代数 算子代数（英语：Operator algebra）
查 论 编

抽象代数中，环论（英语：Ring Theory）是针对一种称为环的代数结构之研究，环类似可交换群，有定义运算“+”，此外又定义另一种运算“·”（此处的“+”和“·”不一定是一般的加法及乘法，但和在整数中定义的加法及乘法有类似性质）。环论研究环的结构、环的代数表现方式（英语：representation of an algebra）（或称为modules（英语：module (ring theory)））、特殊的环（例如群环、除环、泛包络代数等），也包括一些和环论有关的定理以及其应用，例如同调代数、及PI环（英语：PI ring）。

交换环是指其中运算“·”符合交换律的环，本身比较容易理解。代数几何及代数数论中有许多交换环的例子，也带动了交换环理论的发展，这部分后来称为交换代数，是现代数学中的主要领域之一。代数几何、代数数论及交换代数在本质上连结的非常紧密，因此有时很难去区分某特定数学原理属于哪个领域。例如希尔伯特零点定理是代数几何的基本定理，但是陈述及证明时都是以交换代数的方式进行。而费马大定理问题的形式是以基本的算术方式（属于交换代数的一部分）呈现，但其证明用到很深的代数几何及代数数论。

非交换环（英语：Noncommutative ring）是指其中运算“·”不符合交换律的环，会有一些和交换环不同的的特殊特性。非交换环此一数学概念本身也在进展，而近来的也有一些研究将特定的非交换环以几何的方式表示，例如在（不存在的）非交换空间下的函数环。这种趋势自1980年代开始发展，也和量子群的出现同时。目前对非交换环已有多一些的认识，尤其是非交换的诺特环^[1]。

在“环 (代数)”条目中，有环的定义以及其基本的概念及性质。

一些有关的定理

一般：

• 环上的同构基本定理
• 中山引理

结构定理:

• Artin–Wedderburn theorem（英语：Artin–Wedderburn定理）确认半单环的结构。
• 雅各布森密度定理（英语：Jacobson density theorem）确认本原环（英语：Primitive ring）的结构。
• 戈尔迪定理（英语：Goldie's theorem）确认半素（英语：semiprime ideal）戈尔迪环的结构。
• Zariski–Samuel定理（英语：Zariski–Samuel theorem）确认可交换主理想环的结构。
• Hopkins–Levitzki定理（英语：Hopkins–Levitzki theorem）提出了诺特环是阿廷环的充分必要条件。
• 森田等价包括了许多定理可以确认二个环之间是否有个等价关系。
• 韦德伯恩小定理提出每一个有限整环都是域。

脚注