数学上，一个给定集${\displaystyle M}$上，所有到自身的可逆映射构成的集合关于映射的合成构成一个群，称为${\displaystyle M}$的对称群，记为${\displaystyle S_{M))$。${\displaystyle S_{M))$的任一子群称为${\displaystyle M}$上的变换群。 如果${\displaystyle M}$是包含${\displaystyle n}$个元素的有限集，称其到自身的可逆映射为${\displaystyle n}$阶置换（英语：permutation）。其对称群称为${\displaystyle n}$阶对称群（英语：sysmmetric group of degree n），并把${\displaystyle S_{M))$记为${\displaystyle S_{n))$。同时称${\displaystyle S_{n))$的任一子群为置换群。^[1]

置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用，也是研究晶体的结构等所不可或缺的工具。

例子

置换通常写作轮换形式，例如，在轮换指标计算中，给定集合${\displaystyle M=\{1,2,3,4\))$，${\displaystyle M}$的一个置换${\displaystyle g}$若为${\displaystyle g(1)=2,g(2)=4,g(4)=1}$和${\displaystyle g(3)=3}$，可以写作${\displaystyle (1,2,4)(3)}$，或者更常见的写作${\displaystyle (1,2,4)}$，因为${\displaystyle 3}$保持不变；若对象有单个字母或数字表示，逗号也被省去，所以可以记作${\displaystyle (1\ 2\ 4)}$。

常见的置换群

${\displaystyle M=\{1,2\))$

${\displaystyle (1),(1\ 2)}$

${\displaystyle M=\{1,2,3\))$

${\displaystyle (1),(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)}$

${\displaystyle M=\{1,2,3,4\))$

${\displaystyle (1),}$ ${\displaystyle (1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4),}$ ${\displaystyle (1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2\ 4),(1\ 4\ 2),(1\ 3\ 4),(1\ 4\ 3),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3),}$ ${\displaystyle (1\ 2\ 3\ 4),(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 3\ 2\ 4),(1\ 3\ 4\ 2),(1\ 4\ 2\ 3),(1\ 4\ 3\ 2),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)}$

参看

• 群作用
• 本原群
• 置换
• 轮换
• 交错群

参考

• John D. Dixon and Brian Mortimer. Permutation Groups. Number 163 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
• Akos Seress. Permutation group algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups" （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

1. ^ 韩士安,林磊. 近世代数（第二版）. 北京: 科学出版社. 2009: 44. ISBN 9787030250612.