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群论
群
基本概念
子群 ·
正规子群 · 商群 ·
群同态 ·
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半 )
直积 ·
直和 单群 ·
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圈积
离散群
有限单群分类 循环群 Zn
交错群 An
李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24
康威群 Co1..3
扬科群 J1..4
费歇尔群 (英语:
Fischer group )F22..24
子魔群 (英语:
sub monster group ) B
魔群 M
其他有限群
对称群 , Sn
二面体群 , Dn
无限群
整数 , Z
模群 , PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)
连续群
李群 一般线性群 GL(n)
特殊线性群 SL(n)
正交群 O(n)
特殊正交群 SO(n)
酉群 U(n)
特殊酉群 SU(n)
辛群 Sp(n)
G2 F4
E6 E7
E8
劳仑兹群 庞加莱群
无限维群
共形群 微分同胚群
环路群
量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群
椭圆曲线 线性代数群 (英语:
Linear algebraic group )
阿贝尔簇 (英语:
Abelian variety )
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查 论 编
在数学 中,商群 或因子群 是通过保持群结构的等价关系 来把较大群中的类似元素聚类而产生的群 。例如,加法模n的循环群是由在整数加法群中将相差n倍的整数定义为一类(称为同余类)得到的一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。
给定一个群 G 和G 的正规子群 N ,G 在N 上的商群 或因子群 ,在直觉上是把正规子群N “萎缩”为单位元 的群。商群写为G /N 并念作G mod N (mod 是模 的简写)。
商群的重要性很大程度上源自他们与同态的关系。第一同构定理指出,任意群
G
{\displaystyle G}
在同态下的像总是同构于
G
{\displaystyle G}
的商。具体而言,同态
φ
:
G
→
H
{\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}
下
G
{\displaystyle G}
的像同构于G /ker,其中 ker 代表
φ
{\displaystyle \varphi }
的核 。
如果N 不是正规子群,商仍可得到,但结果将不是群,而是齐次空间 。
群的子集的乘积
在随后的讨论中,我们将使用在G 的子集上的二元运算 :如果给出G 的两个子集S 和T ,我们定义它们的乘积 为ST = { st : s ∈S 并且t ∈T }。这个运算是符合结合律 的并有单位元 为单元素集合 {e },这里的e 是G 的单位元。因此,G 的所有子集的集合形成了在这个运算下的幺半群 。
凭借这个运算我们可以首先解释商群是什么,并接着解释正规子群是什么:
群G 的商群是G 的一个划分 ,而它在这个乘积运算下是群。 它完全由包含e 的子集所确定。G 的正规子群 是在任何这种划分中包含e 的集合。在划分中的子集是这个正规子群的陪集 。
群G 的子群N 是正规子群,当且仅当 陪集等式aN = Na 对于所有G 中的a 都成立。依据上述定义的在子集上的二元运算,G 的正规子群是交换于G 的所有子集的子群,并指示为N ⊲ G 。置换于G 的所有子群的子群叫做可置换子群。
定义
设N 是群G 的正规子群 。我们定义集合G /N 是N 在G 中的所有左陪集的集合,就是说G /N = { aN : a ∈G }。在G /N 上的群运算定义如上。换句话说,对于每个G /N 中aN 和bN ,aN 和bN 的乘积是 (aN )(bN )。这个运算是闭合的,因为 (aN )(bN )实际上是左陪集:
(aN )(bN ) = a (Nb )N = a (bN )N =(ab )NN =(ab )N 。 N 的正规性被用在了这个等式中。因为N 的正规性,N 在G 中的左陪集和右陪集是相等的,所以G /N 也可以定义为N 在G 中所有的右陪集的集合。因为运算是从G 的子集的乘积得出的,这个运算是良好定义 的(不依赖于表示的特定选择),符合结合律的,并有单位元N 。G /N 的元素aN 的逆元是a −1 N 。
定义的动机
G /N 被称为商群的契机来自整数 的除法 。12除以3 时会得到答案4,是因为我们可以把12个对象重新分组为各含3个对象的4个子搜集。商群的诞生出于同样的想法,但用一个群作为最终结果而非一个数,因为比起任意对象构成的集合,群有更严密的结构。
更细致的说,当N 是G 的正规子群的时候,G /N 这一群结构形成了一种自然的“重新分组”。它们是N 在G 中陪集。因为这种运算涉及一个群和它的正规子群,最终我们得到的商不只是陪集的(正常除法所产生的)数目,还包含更多的信息,得到了一个群结构。
例子
考虑整数 集Z (在加法下)的群和所有偶数构成的子群2Z 。这是个正规子群,因为Z 是阿贝尔群 。只有两个陪集:偶数的集合和奇数的集合;因此商群Z /2Z 是两个元素的循环群。这个商群同构于集合{ 0, 1 }带有模2加法运算的群;非正式的说,有时称Z /2Z 等于集合{ 0, 1 }带有模2加法。 上个例子的稍微一般化。再次考虑整数集Z 在加法下的群。设n 是任何正整数。我们考虑由n 的所有倍数构成的Z 的子群n Z 。n Z 在Z 中还是正规子群因为Z 是阿贝尔群。陪集们是搜集{n Z ,1+n Z ,...,(n −2)+n Z ,(n −1)+n Z }。整数k 属于陪集r +n Z ,这里的r 是k 除以n 的馀数。商Z /n Z 可以被认为模以n 的“馀数”的群。这是个n 阶循环群 。 N 在G 中的陪集 考虑复数 十二次单位一的根 的乘法阿贝尔群G ,它们是在单位圆 上的点,它们在右图中展示为着色的球并在每点上用数标记出它们的辐角。考虑它由单位一的四次根构成的子群N ,在图中表示为红色球。这个正规子群把群分解为三个陪集,分别表示为红色、绿色和蓝色。你可以验证这些陪集形成了三个元素的群(红色元素和蓝色元素的乘积是蓝色元素,蓝色元素的逆元是绿色元素等等)。因此商群G /N 是三种颜色元素的群,它又是三个元素的循环群。 考虑实数 集R 在加法下的群,和整数集子群Z 。Z 在R 中的陪集们是形如a + Z 的所有集合,这里0 ≤ a < 1是实数。这种陪集的加法是通过做相应的实数的加法,并在结果大于或等于1的时候减去1完成的。商群R /Z 同构于圆群 S1 ,它是绝对值 为1的复数 在乘法下的群,或者说关于原点的二维旋转 的群,也就是特殊正交群 SO(2)。有一个同构给出为f (a + Z ) = exp(2πia ,参见欧拉恒等式 )。 如果G 是可逆的3 × 3实数矩阵 的群,而N 是带有行列式 为1的3 × 3实数矩阵的子群,那么N 在G 中是正规子群(因为它是行列式同态 的核)。N 的陪集们是带有给定行列式的矩阵的集合们,因此G /N 同构于非零实数的乘法群。 考虑阿贝尔群Z 4 = Z /4Z (也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }带有加法模 4),和它的子群{ 0, 2 }。商群Z 4 / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。这是带有单位元{ 0, 2 }的群,群运算如{ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同构于Z 2 。 考虑乘法群
G
=
Z
n
2
∗
{\displaystyle G=\mathbf {Z} _{n^{2))^{*))
。第n 个馀数的集合N 是
Z
n
∗
{\displaystyle \mathbf {Z} _{n}^{*))
的ϕ (n ) 阶乘法子群。则N 在G 中是正规子群并且因子群G /N 有陪集N ,(1+n )N , (1+n )2 N,…,(1+n )n −1 N。Pallier加密系统基于了在不知道n 的因子分解的时候难于确定G 的随机元素的陪集的猜想 。
性质
商群G / G 同构 于平凡群(只有一个元素的群),而G / {e }同构于G 。
G / N 的阶 定义为等于[G : N ],它是N 在G 中的子群的指标 (index)。如果G 是有限的,这个指标还等于G 的阶除以N 的阶。注意G / N 可以在G 和N 二者是无限的时候是有限的(比如Z / 2Z )。
有一个“自然”满射 群同态 π : G → G / N ,把每个G 的元素g 映射到g 所属于的N 的陪集上,也就是:π (g ) = gN 。映射π 有时叫做“G到G / N上的规范投影”。它的核 是N 。
在包含N 的G 的子群和G / N 的子群之间有一个双射映射;如果H 是包含N 的G 的子群,则对应的G / N 的子群是π (H )。这个映射对于G 的正规子群和G / N 也成立,并在格定理中形式化。
商群的一些重要性质记录在同态基本定理 和同构基本定理 中。
如果G 是阿贝尔群 、幂零群 或可解群 ,则G / N 也是。
如果G 是循环群 或有限生成群 ,则G / N 也是。
如果N 被包含在G 的中心 内,则G 也叫做这个商群的中心扩张 。
如果H 是在有限群G 中的子群,并且H 的阶是G 的阶的一半,则H 保证是正规子群,因此G / H 存在并同构于C 2 。这个结果还可以陈述为“任何指标为2的子群都是正规子群”,并且它的这种形式还适用于无限群。
所有群都同构于一个自由群 的商。
有时但非必然的,群G 可以从G / N 和N 重构为一个直积 或半直积 。判定何时成立的问题叫做扩张问题 。不成立的一个例子如下。Z 4 / { 0, 2 }同构于Z 2 ,并且还同构于{ 0, 2 },但是唯一的半直积是直积,因为Z 2 只有一个平凡的自同构 。所以Z 4 不同于Z 2 × Z 2 ,它不能被重构。