在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程${\displaystyle x^{2}+1=0}$的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统${\displaystyle \mathbb {R} }$延伸至复数系统${\displaystyle \mathbb {C} }$。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位标记为${\displaystyle i}$，在电机工程和相关领域中则标记为${\displaystyle j}$，这是为了避免与电流（记为${\displaystyle i(t)}$或${\displaystyle i}$）混淆。

定义

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle ((i}^{-{3))}=i}$

${\displaystyle ((i}^{-{2))}=-1}$

${\displaystyle ((i}^{-{1))}=-i}$

${\displaystyle ((i}^{0))=1}$

${\displaystyle ((i}^{1))=i}$

${\displaystyle ((i}^{2))=-1}$

${\displaystyle ((i}^{3))=-i}$

${\displaystyle ((i}^{4))=1}$

${\displaystyle ((i}^{5))=i}$

${\displaystyle ((i}^{6))=-1}$

${\displaystyle \ldots }$

虚数单位${\displaystyle i}$定义为二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：

${\displaystyle ((x}^{2))=-1}$。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号${\displaystyle i}$。很重要的一点是，${\displaystyle i}$是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为：

${\displaystyle i={\sqrt {-{1))))$

然而${\displaystyle i={\sqrt {-{1))))$往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为${\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1))\right)\times \left({\sqrt {-1))\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)))={\sqrt {1))=1}$，但是-1不等于1。

但请注意：${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b))={\sqrt {a))\cdot {\sqrt {b))}$成立的条件有${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设${\displaystyle i}$是一个未知数，然后依照${\displaystyle i}$的定义，替代任何${\displaystyle i^{2))$的出现为-1。${\displaystyle i}$的更高整数幂数也可以替代为${\displaystyle -i}$，${\displaystyle 1}$，或${\displaystyle i}$，根据下述方程式：

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$，

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$，

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$。

一般地，有以下的公式：

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4))))$

其中${\displaystyle {\bmod {4))}$表示被4除的余数。

i和-i

方程${\displaystyle x^{2}=-1}$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解${\displaystyle i}$，那么${\displaystyle -i}$（不等于${\displaystyle i}$）也是一个解，由于这个方程是${\displaystyle i}$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为${\displaystyle i}$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然${\displaystyle -i}$和${\displaystyle i}$在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。

${\displaystyle -i^{2}=1}$

${\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i))}$

正当的使用

虚数单位有时记为${\displaystyle {\sqrt {-1))}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式${\displaystyle {\sqrt {a))\cdot {\sqrt {b))={\sqrt {a\cdot b))}$仅对于非负的实数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1))\cdot {\sqrt {-1))={\sqrt {(-1)\cdot (-1)))={\sqrt {1))=1}$（不正确）

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1))\cdot \pm {\sqrt {-1))=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)))=\pm {\sqrt {1))=\pm 1}$（不正确）

${\displaystyle {\frac {1}{i))={\frac {\sqrt {1)){\sqrt {-1))}={\sqrt {\frac {1}{-1))}={\sqrt {-1))=i}$（不正确）

i的运算

许多实数的运算都可以推广到${\displaystyle i}$，例如平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与${\displaystyle i}$有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

• ${\displaystyle i}$的平方根为：

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2)){2))+{\frac {\sqrt {2)){2))i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2)){2))(1+i)}$

这是因为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2)){2))(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2)){2))\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2))(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2))(1+2i-1)\\&=i\end{aligned))}$

使用算术平方根符号表示：

${\displaystyle {\sqrt {i))={\frac {\sqrt {2)){2))(1+i)}$

其解法为先假设两实数${\displaystyle x}$及${\displaystyle y}$，使得${\displaystyle (x+iy)^{2}=i}$，求解${\displaystyle x,y}$^[1]

• 一个数的${\displaystyle ni}$次幂为：

${\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n))$

一个数的${\displaystyle ni}$次方根为：

${\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x))=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x))-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x))}$

利用欧拉公式

${\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2))+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2))+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2))+2k\pi )))$，${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

代入不同的${\displaystyle k}$值，可计算出无限多的解。当${\displaystyle k=0}$最小的解是${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2))}\approx }$0.20787957635076...^[2]

• 以${\displaystyle i}$为底的对数为：

${\displaystyle \log _{i}x=((2\ln x} \over i\pi ))$

• ${\displaystyle i}$的余弦是一个实数：

${\displaystyle \cos i=\cosh 1=((e+{\frac {1}{e))} \over 2}=((e^{2}+1} \over 2e}\approx }$1.5430806348152...

• ${\displaystyle i}$的正弦是纯虚数：

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1=((e-{\frac {1}{e))} \over 2}i=((e^{2}-1} \over 2e}i\approx }$1.1752011936438...${\displaystyle i}$

在编程语言

• 大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。
• 在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。
• 在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。
• Go语言于第 1.0 版就内建虚数和复数的支持，变数类型为 complex64和complex128^[3]。

注解

参见

• 代数基本定理
• 虚数
• 复平面
• 单位根
• i

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作为-1的平方根（英文视频）^{[永久失效链接]}
• ${\displaystyle i^{7321))$的计算方法举例（英文视频）