循环小数 =0.142857142857… 循环小数 ,也称为无限循环小数 ,是从小数 部分的某一位起,一个数字或几个数字,依次不断地重复出现的小数。
定义
循环小数都为有理数 的小数 表示形式,例:
5
4
=
1.25
=
1.25000000
⋯
=
1.25
0
¯
=
1.24999999
⋯
=
1.24
9
¯
{\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0))=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9))}
1
3
=
0.3333333
⋯
=
0.
3
¯
{\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3))}
1
7
=
0.
142857
142857
⋯
=
0.
142857
¯
{\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857))}
性质
一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数 ,循环节位数一定是N-1的因数 (参见:费马伪素数 )。为了证明这点,可用反证法 。假设
n
{\displaystyle n}
的循环节为m,令m>n。将1/n乘以10,循环往复操作,会得到不同的余数。根据余数定义,余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数,所以只有n-1种循环节。若长度为m位,则必有(m-n+1)种循环节无法轮替,所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
根据分数
b
a
{\displaystyle {\frac {b}{a))}
的情况分开讨论 1.除数a为
2
m
×
5
n
×
K
{\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times K}
的倍数时,
b
÷
a
{\displaystyle b\div a}
有max(m,n)个不循环位数,其中
b
{\displaystyle b}
为任意自然数,
K
{\displaystyle K}
为非
2
m
,
5
n
{\displaystyle 2^{m},5^{n))
之其他数。
2.如果
1
⩽
b
<
a
{\displaystyle 1\leqslant b<a}
,a不是2或5的倍数,并且a与b互素,那么存在一个正整数e,e为
b
÷
a
{\displaystyle b\div a}
的循环节位数,而e=
min
{
e
∈
N
:
10
e
≡
1
(
mod
a
)
}
{\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a))\right\))
。[1]
10
e
≡
1
(
mod
a
)
{\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a))}
表示
10
e
−
1
{\displaystyle 10^{e}-1}
可以整除a,或称
10
e
{\displaystyle 10^{e))
与1同余)
事实上以该参考文献的定理一公式推导式子:
10
d
×
b
a
=
q
+
b
a
{\displaystyle {\frac {10^{d}\times b}{a))=q+{\frac {b}{a))}
来看,
b
>
a
{\displaystyle b>a}
也成立,例如
2
7
{\displaystyle {\frac {2}{7))}
与
9
7
{\displaystyle {\frac {9}{7))}
,两者循环小数一致,因为
8
7
=
1
+
1
7
{\displaystyle {\frac {8}{7))=1+{\frac {1}{7))}
,只差别在商,余数皆为1(同余)故成立。
3.承接以上两点,当除数a可以素因数标准分解式表示成
(
2
m
×
5
n
)
×
(
P
1
S
1
×
P
2
S
2
×
{\displaystyle (2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times }
⋯
×
P
n
S
n
)
{\displaystyle \times Pn^{Sn})}
时,会有max(m,n)个不循环位数,和
E
{\displaystyle E}
个循环节位数。
其中,
P
1
S
1
{\displaystyle P1^{S1))
,
P
2
S
2
{\displaystyle P2^{S2))
,⋯,
P
n
S
n
{\displaystyle Pn^{Sn))
分别各有e1 ,e2 ,...,en 个循环节位数,存在一个最小公倍数
E
=
[
{\displaystyle E=[}
e1 ,e2 ,...,en
]
{\displaystyle ]}
。
例:
11
2
2
×
3
2
×
5
3
×
7
×
17
{\displaystyle {\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17))}
的循环节个数?
答:前三位不循环(2 和 5 的最高次方为 3),循环节个数是 48(因为
3
2
{\displaystyle 3^{2))
的循环节位数为1,7的循环节位数为6,17的循环节位数为16,[1,6,16]=48)[2]
计算方法
利用短除法 可以将分数(有理数 ,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)转化为循环小数。
例如
3
7
{\displaystyle {\frac {3}{7))}
可以用短除法计算如下:
7|3.00000000000000000
0.42857142857142857...
表示方法
在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。
1
70
=
0.0
142857
¯
{\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857))}
1
70
=
0.0
1
˙
4285
7
˙
{\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1))4285{\dot {7))}
1
70
=
0.0
{
142857
}
{\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\))
缺点
不唯一性
使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如
1.000000
⋯
=
1.
0
¯
=
0.
9
¯
=
0.999999
⋯
{\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0))=0.{\overline {9))=0.999999\cdots }
与进位制 系统密切相关
由于循环小数与进位制系统密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如:
1
17
=
0.
0588235294117647
0588235294117647
⋯
=
0.
0588235294117647
¯
{\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647))}
但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如
1
17
=
1
11
(
16
)
=
0.
0
F
0
F
⋯
(
16
)
=
0.
0
F
¯
(
16
)
{\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F))_{(16)))
又或
1
17
=
1
10
(
17
)
=
0.1
(
17
)
{\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)))
参考资料
^ 康明昌. 循環小數 (PDF) . 数学传播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2021-11-04).
^ 質數循環節的位數 (PDF) . [2008-08-18 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2017-01-12).