单位元（unit element^[1]）也称恒等元（identity element）、中立元（neutral element）、恒元，是集合里的一种特殊元素，与该集合里的二元运算有关。单位元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。单位元在群和其他相关概念中都有使用。

设${\displaystyle (S,*)}$为一带有一二元运算${\displaystyle *}$的集合${\displaystyle S}$（称为原群）。若${\displaystyle S}$内有一元素${\displaystyle e}$对S内所有元素a满足${\displaystyle e*a=a}$，则${\displaystyle e}$被称为左单位元；若满足${\displaystyle a*e=a}$，则称为右单位元。而若${\displaystyle e}$同时为左单位元及右单位元，则称为双边单位元，又简称为单位元。

对应加法的单位元称为加法单位元（通常被标为0），而对应乘法的单位元则称为乘法单位元（通常被标为1）。这一区分大多被用在有两个二元运算的集合上，比如环。

例子

集合	运算	单位元
实数	+（加法）	0
实数	·（乘法）	1
实数	${\displaystyle a^{b))$（乘方）	1（只为右单位元）
复数	+（加法）	0
复数	·（乘法）	1
矩阵	+（加法）	零矩阵
方阵	·（乘法）	单位矩阵
所有从集合M映射至其自身的函数	${\displaystyle \circ }$（函数复合）	单位函数
所有从集合M映射至其自身的函数	${\displaystyle *}$（卷积）	${\displaystyle \delta }$（狄拉克δ函数）
字串	串接	空字元串
扩展的实轴	最大值	${\displaystyle -\infty }$
扩展的实轴	最小值	${\displaystyle \infty }$
集合M的子集	${\displaystyle \cap }$（交集）	M
集合	${\displaystyle \cup }$（并集）	${\displaystyle \{\))$（空集）
布尔逻辑	${\displaystyle \land }$（逻辑与）	⊤（真值）
布尔逻辑	${\displaystyle \lor }$（逻辑或）	⊥（假值）
闭二维流形	#（连通和）	${\displaystyle S^{2))$
只两个元素${\displaystyle \{e,f\))$	* 定义为 ${\displaystyle e*e=f*e=e}$且 ${\displaystyle f*f=e*f=f}$	${\displaystyle e}$和${\displaystyle f}$都是左单位元，但不存在右单位元和双边单位元

如最后一个例子所示，有多个左单位元是可能的，且事实上，每一个元素都可以是左单位元。同样地，右单位元也一样。但若同时存在有右单位元和左单位元，则它们会相同，且仅存在一个双边单位元。要证明这个，设${\displaystyle I}$为左单位元且${\displaystyle r}$为右单位元，则${\displaystyle I=I*r=r}$。特别的，不存在两个以上的单位元。若有两个单位元${\displaystyle e}$和${\displaystyle f}$，则${\displaystyle e*f}$必同时等于${\displaystyle e}$和${\displaystyle f}$。

一个代数也可能没有单位元。最常见的例子为向量的内积和外积。前者缺乏单位元的原因在于，相乘的两个元素都会是向量，但乘积却会是个标量。而外积缺乏单位元的原因则在于，任一非零外积的方向必和相乘的两个向量相正交，因此不可能得出一个和原向量指向同方向的外积向量。

参考

另见

• 逆元素
• 加法逆元
• 幺半群
• 单作
• 拟群