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零因子.
在抽象代数中,一个环的一个非零元素 a 是一个左零因子,当且仅当存在一个非零元素 b,使得 ab=0。类似的,一个非零元素 a 是一个右零因子,当且仅当存在一个非零元素 b,使得 ba=0。左零因子和右零因子通称为零因子(zero divisor)。[1][2][注 1]。在交换环中,左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则的。
例子
- 整数环
没有零因子,但是在环
中,有
,于是
和
都是零因子。
- 在商环
中,同余类
(即
),是一个零因子,因为
是同余类
。
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94291e1fd0749457348af9fffb81aa60b535d31a)
- 因为
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix))\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix))\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7739c9cf8070ad3cbf586767084a9f42b902518a)
- 更一般地说,在某些域上的 n×n 的矩阵组成的环中,左零因子也就是右零因子(实际上就是所有的非零的奇异矩阵)。在某些整环上的 n×n 的矩阵组成的环中,零因子就是所有行列式为0的非零矩阵。
- 下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子,它们都不是零因子。
- 令 S 为所有整数数列的集合,则 S 到 S 的映射,对于数列的加法和映射的复合,成为一个环 End(S),。
- 考虑以下三个映射:右移映射:R(a1, a2,a3,...) = (0, a1, a2,...), 左移映射:L(a1, a2,a3,... ) = (a2, a3,...),以及只保留首项的映射: T(a1, a2,a3,... ) = (a1, 0, 0, ... )
- LT = TR = 0,所以 L 是一个左零因子,R 是一个右零因子。但是 L 不是右零因子,R 也不是左零因子。因为 LR 便是恒等映射。也就是说,如果有一个映射 f 使得 fL= 0,那么 0=(fL)R = f(LR)= f1 = f,f 必然是 0,于是 L 不可能是右零因子。同理,R 也不可能是左零因子。
- 实际上,我们可以将 S 到 S 的映射看作可数阶数的矩阵,于是左移映射 L 就可以表示为:
- 同理 R 则是 L 的转置矩阵(同时也是 L 的逆矩阵)。可以看出这个例子在有限阶矩阵中是无法构造的。
性质
- 任意的非零的等幂元 a ≠ 1 都是零因子,因为由 a2 = a 可推出 a(a − 1) = (a − 1)a = 0。此外,幂零元是当然的零因子。
- 一个非退化的交换环(0 ≠ 1)若没有零因子,则是一个整环。
- 商环 Z/nZ 包含零因子,当且仅当 n 是合数。如果 n 是素数,Z/nZ 是一个域,因而没有零因子,因为每个非零元素都是可逆的。
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