数学上，发散级数：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!}$

是被欧拉首次研究，他应用重求和方法给级数赋予一个有限的值^[1]。此级数是被交替加减的阶乘之总和。要给发散级数赋值，其中一个方法是用博雷尔和，其型式上写成：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx}$

若我们对总和和积分进行转乘（忽略两者其实都是不收敛的），将得到：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx}$

在中括号中的总和收敛，并等于1/(1 + x)，若x < 1。若我们继续对所有实数x分析1/(1 + x)，可以得到收敛积分的总和：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x))\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots }$

此处的${\displaystyle E_{1}(z)}$是指数积分。这是根据博雷尔和对级数的定义。

结果

若k为前十个值，其结果如下：

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注释

参考资料

• Euler, L., De seriebus divergentibus (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 1760, (5): 205–237 [2014-03-13], （原始内容存档于2013-09-26） 

查 论 编 序列与级数 算术序列 发散级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 几何序列 收敛级数 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … 发散几何级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 · 10的幂 超几何级数 广义超几何函数 · 矩阵参数的超几何函数（英语：Hypergeometric function of a matrix argument） · 超几何级数 · 椭圆超几何级数（英语：Elliptic hypergeometric series） · 黎曼微分方程（英语：Riemann's differential equation） 整数序列 整数数列列表 · 阶乘 · 斐波那契数列 · 等谐数列 · 三角形数 · 立方数 · 平方数 · 多边形数 · 五边形数 · 六边形数 · 七边形数 · 八边形数 · 卢卡斯数 其他序列 发散级数 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯