在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。

对于实数x，指数积分Ei(x)可以定义为：

${\displaystyle {\mbox{Ei))(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t)){t))\,\mathrm {d} t.\,}$

其中${\displaystyle e^{t))$为指数函数。以上的定义可以用于正数x，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。

对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了^[1]。为了避免歧义，我们使用以下的记法：

${\displaystyle {\rm {E))_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t)){t))\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg))(z)|<\pi .}$

当自变量的实数部分为正时，可以转换为：

${\displaystyle {\rm {E))_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz)){t))\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.}$

Ei与E₁有以下关系：

${\displaystyle {\rm {Ei))(-x\pm {\rm {i))0)=-{\rm {E))_{1}(x)\mp {\rm {i))\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)}$

${\displaystyle -{\rm {Ei))(x)={\frac {1}{2)){\rm {E))_{1}(-x+{\rm {i))0)+{\frac {1}{2)){\rm {E))_{1}(-x-{\rm {i))0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.}$

指数积分可以用以下的收敛级数来表示：

${\displaystyle {\mbox{Ei))(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k)){k\;k!))\,,~~~~~x>0}$

${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k)){k\;k!))\,,~~~~~~~~{\rm {Re))(z)>0}$

其中${\displaystyle ~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~}$是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要${\displaystyle ~x\!>\!0~}$。

自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：

${\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z))\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n))}+{\mathcal {O))\left({\frac {N!}{z^{N))}\right)\right]}$

这个截断和可以用来计算${\displaystyle ~{\rm {Re))(z)\!\gg \!1~}$时函数的值。级数中的项数越多，自变量的实数部分就应该越大。

图中描述了以上估计的相对误差。

${\displaystyle ~E_{1}~}$在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。${\displaystyle ~E_{1}~}$是位于以下两个函数之间的：

${\displaystyle {\frac {\exp(-x)}{2))\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x))\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x))\right)~~~~~~~~x\!>\!0}$

这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是${\displaystyle ~{\rm {E))_{1}(x)~}$，不等式的右端用红色曲线来表示。

指数积分与对数积分li(x)有密切的关系：

li(x) = Ei (ln (x))    对于所有正实数x ≠ 1。

另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

${\displaystyle {\rm {E))_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx)){t))\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t)){t))\,\mathrm {d} t.}$

这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：

${\displaystyle {\rm {Ei))(-x)=-{\rm {E))_{1}(x).\,}$

我们可以把两个函数都用整函数来表示：

${\displaystyle {\rm {Ein))(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t))=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k)){k\;k!)).}$

利用这个函数，我们可以用对数来定义：

${\displaystyle {\rm {E))_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein))(z),~~~~~~|{\rm {Arg))(z)|<\pi ~}$

以及

${\displaystyle {\rm {Ei))(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein))(-x),~~~~~~x>0.}$

指数积分还可以推广为：

${\displaystyle {\rm {E))_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt)){t^{n))}\,\mathrm {d} t,}$

它是不完全伽玛函数的一个特例：

${\displaystyle {\rm {E))_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,}$

这个推广的形式有时成为Misra函数${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$，定义为：

${\displaystyle \varphi _{m}(x)={\rm {E))_{-m}(x).\,}$

函数${\displaystyle ~{\rm {E))_{n}~}$与${\displaystyle ~{\rm {E))_{1}~}$的导数有以下简单的关系：

${\displaystyle ((\rm {E))_{n))'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg))(z)|<\pi ,~~~n>0)}$

然而，这里假设了${\displaystyle ~n~}$是整数；复数${\displaystyle ~n~}$的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2^x的图形中，其导函数在任意x值所对应的y值为原函数的0.693倍。

从以下的表示法中

${\displaystyle {\rm {E))_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t))\,{\rm {d))t,~~~~~~({\rm {Re))(z)\geq 0)}$

可以看出指数积分与正弦积分（Si）和余弦积分（Ci）之间的关系：

${\displaystyle {\rm {E))_{1}({\rm {i))\!~x)=-{\frac {\pi }{2))+{\rm {Si))(x)-{\rm {i))\cdot {\rm {Ci))(x),~~~~~~~~~(x>0)}$

图中的黑色和红色曲线分别描述了${\displaystyle ~{\rm {E))_{1}(x)~}$的实数和虚数部分。

• Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
• S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

• 埃里克·韦斯坦因. Exponential Integral. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. En-Function. MathWorld. 
• Ei的公式和恒等式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）