贝特朗判别法（英语：Bertrand's test）是正项级数敛散性的一种判别方法，分析通过级数项作成的形如${\displaystyle \left(n\left({\frac {a_{n)){a_{n+1))}-1\right)-1\right)\ln {n))$序列的极限，可以更为精细地讨论级数的收敛性，可以看作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法或库默尔判别法（英语：Ratio test#5. Kummer’s test）的推论。

定理

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n))$是欲判断敛散性的级数，定义序列

${\displaystyle {\mathcal {B))_{n}=\left(n\left({\frac {a_{n)){a_{n+1))}-1\right)-1\right)\ln n.}$

设它具有极限 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }((\mathcal {B))_{n))={\mathcal {B))}$

那么：

• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B))>1}$，级数收敛；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B))<1}$，级数发散；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B))=1}$，则级数的敛散性暂时不能确定^[1]。

证明

在库默尔判别法（英语：Ratio test#5. Kummer’s test）中取${\displaystyle c_{n}=n\ln n(n\geq 2)}$，这样的选取是可以允许的，因为级数${\displaystyle \sum {\frac {1}{n\ln n))}$发散。

在这情形下有${\displaystyle {\mathcal {K))_{n}=n\ln n\cdot {\frac {a_{n)){a_{n+1))}-(n+1)\ln(n+1)}$。

也可以表示成${\displaystyle {\mathcal {K))_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n)){a_{n+1))}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+{\frac {1}{n))\right)^{n+1}={\mathcal {B))_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n))\right)^{n+1))$。

其中${\displaystyle {\mathcal {B))_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n)){a_{n+1))}-1\right)-1\right]=\ln n\cdot \left({\mathcal {R))_{n}-1\right)}$，这就得到了贝特朗判别法。

参考文献