比较审敛法

无穷级数 ζ ( s ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s)))) 无穷级数审敛法项测试 · 比较审敛法 · 极限比较审敛法 ·根值审敛法 · 比值审敛法 · 柯西判别法 · 柯西并项判别法 · 拉比判别法 · 高斯判别法 · 积分判别法 · 魏尔施特拉斯判别法 · 贝特朗判别法 · 狄利克雷判别法 · 阿贝尔判别法 · 库默尔判别法 · 斯托尔兹—切萨罗定理 · 迪尼判别法级数调和级数 · 调和级数 · 幂级数 · 泰勒级数 · 傅里叶级数 .mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:" :"}.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" | ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" - ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)" ";white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)" "}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output ul.cslist,.mw-parser-output ul.sslist{margin:0;padding:0;display:inline-block;list-style:none}.mw-parser-output .cslist li,.mw-parser-output .sslist li{margin:0;display:inline-block}.mw-parser-output .cslist li:after{content:"，"}.mw-parser-output .sslist li:after{content:"；"}.mw-parser-output .cslist li:last-child:after,.mw-parser-output .sslist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}查论编

比较审敛法（Direct comparison test）是一种判定级数是否收敛的方法。

定理

设两个级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n))$ 和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n))$ ，且 $|u_{n}|\leq v_{n}(n=1,2,3,...)$ ：

如果级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n))$ 收敛，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n))$ 收敛；

设两个级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n))$ 和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n))$ ，且 $v_{n}\leq u_{n}(n=1,2,3,...)$ ：

如果级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n))$ 发散，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n))$ 发散。

证明

证明1

设 ${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},s_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n))$ 当 ${\displaystyle u_{n}\leq v_{n))$ 时，则有 ${\displaystyle \sigma _{k}\leq s_{k))$ ：

当级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n))$ 收敛时，数列 ${\displaystyle s_{k))$ 有界，从而数列 ${\displaystyle \sigma _{k))$ 有界，所以级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n))$ 收敛；

当级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n))$ 发散时，数列 ${\displaystyle \sigma _{k))$ 无界，从而数列 ${\displaystyle s_{k))$ 无界，所以级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n))$ 发散。

证明2

设有级数 ${\displaystyle \sum a_{n))$ 与 ${\displaystyle \sum b_{n))$ ，其中 ${\displaystyle \sum b_{n))$ 绝对收敛（ $\sum |b_{n}|$ 收敛）。不失一般性地假设对于任何正整数n，都满足 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ 。考虑它们的部分和 $S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\dots +|a_{n}|,T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\dots +|b_{n}|.$ 由于 ${\displaystyle \sum b_{n))$ 绝对收敛，存在实数T，使得 $\lim _{n\to \infty }T_{n}=T$ 成立。

对于任意n，都有 $0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.$ (因满足 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ )

由于 ${\displaystyle S_{n))$ 为单调不下降序列， $S_{n}+(T-T_{n})$ 为单调不上升序列(随着n上升，属于 $|a_{n}|$ 的便多过属于 $|b_{n}|$ )，给定 $m,n>N$ ， ${\displaystyle S_{n},S_{m))$ 都属于闭区间 $[S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]$ ，当N趋向无穷大时，这个区间的长度 ${\displaystyle T-T_{n))$ 趋向于0。这表明 ${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots ))$ 是一个柯西序列，因此收敛于一个极限值。因此 ${\displaystyle \sum a_{n))$ 绝对收敛。