代数分式是指分子及分母都是代数式的分数，像 ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3))}$ 及 ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2)){x^{2}-3))}$. 都是代数分式。

有理分式是指分子及分母都是多项式的分式，像${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3))}$ 为有理分式，但${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2)){x^{2}-3))}$ 的分子为根式，不是多项式，因此不是有理分式。

术语

在代数分式 ${\displaystyle {\tfrac {a}{b))}$中，被除数称为分子，除数称为分母，两者都是代数分式的项。

若代数分式的分子或分母中包括复数，则称为复数分式。

简分式是其分子或分母都不是分式的代数分式，若一个表示式不是以分式的形式表示，则称为整式，不过只要将分母设为1，即可以将整式表示为代数分式，带分式指整式和分式的代数和。

有理分式

若代理分式的a和b都是多项式，此分式称为有理代数分式^[1]，或简称为有理分式^[2][3]。有理分式也称为有理表示式或有理函数。若有理分式 ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)))}$ 满足${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$，称为真分式，否则称为假分式，像${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1))}$为真分式，而${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6))}$ 和 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3))}$ 是假分式。假分式可以表示为整式（可能是常数）及真分式的和，例如以上提到的假分式可以表示为

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6))=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6)),}$

其中第二项为真有理分式，二个真分式的和也会是真分式，有时会将真分式的分母因式分解，再将真分式表示数个真因式，其分母分别为原分母的因式（或因式次方），这称为部分分式，例如以下等号右边的即为部分分式

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1))={\frac {1}{x-1))+{\frac {1}{x+1)).}$

因此等号右边的称为部分分式，例如真分式积分时会先进行部分分式分解，再进行积分，称为部分分式积分法。

无理分式

无理分式是指分式中有变数的幂式为小数^[4]，像以下的分式即为无理分式

${\displaystyle {\frac {x^{\tfrac {1}{2))-{\tfrac {1}{3))a}{x^{\tfrac {1}{3))-x^{\tfrac {1}{2)))).}$

将无理分式变为有理分式的过程称为有理化，每个根式为单项的无理分式可以用以下的方式有理化：找到所有幂次分母的最小公倍数，再将变数用另一变数的幂次取代，使原来的根式都变为新变数的整数幂次，例如在上式中，幂次分母的最小公倍数为6，因此可以令 ${\displaystyle x=z^{6))$ ，得到

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3))a}{z^{2}-z^{3))}.}$

脚注

参考资料

Brink, Raymond W. IV. Fractions. College Algebra. 1951. 

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