有理函数（英语：Rational function）是可以表示为以下形式的函数：

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0)){b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0))}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)))\quad ;\quad m,n\in \mathbb {N} _{0))$，${\displaystyle b_{i))$不全为0。

有理数式是多项式除法的商，有时称为代数分数。

渐近线

• 不失一般性可假设分子、分母互质。若存在${\displaystyle r>0}$，使得${\displaystyle (px+q)^{r))$是分母${\displaystyle Q(x)}$的因子，则有理函数存在垂直渐近线${\displaystyle x=-q/p}$。
• 若${\displaystyle m<n}$，有水平渐近线${\displaystyle y=0}$。
• 若${\displaystyle m=n}$，有水平渐近线${\displaystyle y={\frac {a_{m)){b_{m))))$。
• 若${\displaystyle m=n+1}$，有斜渐近线${\displaystyle y={\frac {a_{m)){b_{n))}x+{\frac {b_{n}*a_{m-1}-b_{n-1}*a_{m))((b_{n))^{2))))$。

只有一条水平渐近线

泰勒级数

有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之，若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系，它对应的函数是有理函数。

部分分式

部分分式，又称部分分数、分项分式，是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。

有理数式可分为真分式、假分式和带分式，这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。

若有理数式${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)))}$的分母${\displaystyle Q(x)}$可分解为数个多项式的积，其部分分数便是${\displaystyle \sum {\frac {A_{n)){Q(x)/h_{n}(x)))}$，其中${\displaystyle h_{n}(x)}$是${\displaystyle Q(x)}$的因子，${\displaystyle A_{n))$是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。

例子

1. 分拆${\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28))}$

分子的次数是3，分母的是2，所以先将它转成真分式和多项式的和（即带分式）：

${\displaystyle x-3+{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28))}$

因为${\displaystyle x^{2}+3x-28=(x+7)(x-4)}$，所以

${\displaystyle {\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28))={\frac {A}{x+7))+{\frac {B}{x-4))}$

其中A和B是常数。两边乘以${\displaystyle x^{2}+3x-28}$，得

${\displaystyle \ 32x+4=A(x-4)+B(x+7)}$

即

${\displaystyle \ 32x+4=(A+B)x+(7B-4A)}$

比较系数，得

${\displaystyle \ A+B=32}$

${\displaystyle \ 7B-4A=4}$

解得${\displaystyle A=20,B=12}$。

故： ${\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28))=x+{\frac {20}{x+7))+{\frac {12}{x-4))-3}$

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

${\displaystyle \ 128+4=11B}$

${\displaystyle \ B=12}$

当x=-7时，我们有

${\displaystyle \ -224+4=-11A}$

${\displaystyle \ A=20}$

应用

• 伸缩和
• 复分析
• 拉普拉斯变换

积分

部分分数

在计算有理数式的积分时，部分分数的方法很有用，因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。

• 分母为1次多项式：求${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b))dx}$。

设${\displaystyle u=ax+b}$：

${\displaystyle {\frac {du}{dx))=a}$

${\displaystyle {\frac {du}{a))=dx}$

原式变为

${\displaystyle \int {\frac {1}{u)){\frac {du}{a))={\frac {1}{a))\int {\frac {1}{u)){du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a))+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a))+C}$

• 分母次数为2：求${\displaystyle \int {\frac {dx+e}{ax^{2}+bx+c))dx}$。

若多项式${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$可分解为两个一次多项式的积（即${\displaystyle b^{2}-4ac\geq 0}$），则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解，则将它配方，再用各种替代法解决。

例如：

${\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}$

因为

${\displaystyle x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,}$

考虑

${\displaystyle u=x^{2}-8x+25\,}$

${\displaystyle du=(2x-8)\,dx}$

${\displaystyle du/2=(x-4)\,dx}$

将分子分解，以便应用上面的替换：

${\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx}$

左边：

${\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C}$

另一边：

${\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx}$

代入

${\displaystyle w=(x-4)/3\,}$

${\displaystyle dw=dx/3\,}$

${\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.}$

另一种可行的代入方法是：

${\displaystyle \tan \theta ={x-4 \over 3},\,}$

${\displaystyle \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,}$

${\displaystyle d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,}$

${\displaystyle \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx=10/9\int {\frac {1}{\sec ^{2}\theta ))3\sec ^{2}\theta \,d\theta ={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C}$

奥斯特洛格拉德斯基方法

奥斯特洛格拉德斯基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是这样的：

设求积的有理函数为 ${\displaystyle {\frac {P}{Q))}$，其中${\displaystyle P,Q}$是多项式，${\displaystyle \deg(P)<\deg(Q)}$（${\displaystyle P}$的次数少于${\displaystyle Q}$）。设${\displaystyle Q_{1))$为Q的导数Q'和Q的最大公因数，${\displaystyle Q_{2}={\frac {Q}{Q_{1))))$。则有：

${\displaystyle \int {\frac {P}{Q))dx={\frac {P_{1)){Q_{1))}+\int {\frac {P_{2)){Q_{2))}dx}$

其中${\displaystyle P_{1},P_{2))$为多项式，${\displaystyle \deg(P_{i})<\deg(Q_{i})}$。

应用例子

• 求 ${\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))))$ 。

1. ${\displaystyle Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3))$
2. ${\displaystyle Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)}$
3. ${\displaystyle Q_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2))$
4. ${\displaystyle Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)}$

设 ${\displaystyle P_{1}=Ax^{2}+Bx+C,\quad P_{2}=Dx+E}$

${\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2))}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)))dx}$

两边取导数：

${\displaystyle {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)))}$

通分母，右边的分子为：

${\displaystyle Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B}$

比较分子的多项式的系数，得${\displaystyle A=B=E=-0.125,C=-0.25,D=0}$。于是有

${\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2))}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)))}$

后者可用部分分数的方法求得。

证明

${\displaystyle \int {\frac {P}{Q))dx={\frac {P_{1)){Q_{1))}+\int {\frac {P_{2)){Q_{2))}dx}$

${\displaystyle {\frac {P}{Q))={\frac {P'_{1}-{\frac {Q'_{1}P_{1)){Q_{1)))){Q_{1))}+{\frac {P_{2)){Q_{2))))$

两边乘以${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P=P'_{1}Q_{2}-{\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1)){Q_{1))}+P_{2}Q_{1))$

由于 ${\displaystyle Q'_{1}Q_{2}=Q'-Q_{1}Q'_{2))$，而${\displaystyle Q'}$和${\displaystyle Q_{1}Q'_{2))$都是${\displaystyle Q_{1))$的倍数，所以${\displaystyle {\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1)){Q_{1))))$是多项式。

比较两边多项式的次数：

• ${\displaystyle \deg(P)\leq \deg(Q)-1}$
• ${\displaystyle \deg(P'_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1}$
• ${\displaystyle \deg({\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1)){Q_{1))})\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2}$
• ${\displaystyle \deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1}$

因此${\displaystyle P_{1},P_{2))$有解。

Hermite方法

应用

• 帕德近似
• 插值

参考

• Ostrogradsky's method （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）