古埃及的分数是不同的单位分数的和，就是分子为1，分母为各不相同的正整数。任何正有理数都能表达成这一个形式。

构造

古埃及分数的表达形式不是唯一的，还未找到一个算法总是给出最短的形式。

贪婪算法

贪婪算法：将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少，称为第一种好算法；最大的分母数值最小，称为第二种好算法。 例如：

${\displaystyle {\frac {2}{7))={\frac {1}{4))+{\frac {1}{28))}$。共2项，是第一种好算法，比${\displaystyle {\frac {2}{7))={\frac {1}{5))+{\frac {1}{20))+{\frac {1}{28))}$的项数要少。

又例如， ${\displaystyle {\frac {5}{121))={\frac {1}{33))+{\frac {1}{121))+{\frac {1}{363))}$比 ${\displaystyle {\frac {5}{121))={\frac {1}{25))+{\frac {1}{759))+{\frac {1}{208725))}$ 的最大分母要小，所以是第二种好算法。

1. 找出仅小于${\displaystyle r={\frac {a}{b))}$的最大单位分数。这个分数的分母的计算方法是：即用${\displaystyle b}$除以${\displaystyle a}$，舍去余数，再加1。（如果没有余数，则${\displaystyle r}$已是单位分数。）
2. 把${\displaystyle r}$减去单位分数，以这个新的、更小的${\displaystyle r}$重复步骤1。

例子：把${\displaystyle {\frac {19}{20))}$转成单位分数。

• ${\displaystyle \lfloor 20\div 19\rfloor =1}$，所以第1个单位分数是${\displaystyle {\frac {1}{2))}$；
• ${\displaystyle {\frac {19}{20))-{\frac {1}{2))={\frac {9}{20))}$；
• ${\displaystyle \lfloor 20\div 9\rfloor =2}$，所以第2个单位分数是${\displaystyle {\frac {1}{3))}$；
• ${\displaystyle {\frac {9}{20))-{\frac {1}{3))={\frac {7}{60))}$；
• ${\displaystyle \lfloor 60\div 7\rfloor =8}$，所以第3个单位分数是${\displaystyle {\frac {1}{9))}$；
• ${\displaystyle {\frac {7}{60))-{\frac {1}{9))={\frac {1}{180))}$已是单位分数。

所以结果是：

${\displaystyle {\frac {19}{20))={\frac {1}{2))+{\frac {1}{3))+{\frac {1}{9))+{\frac {1}{180))}$。

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特和斐波那契都提出过以上的方法。

Golomb算法

这个算法是基于贝祖等式的：当${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$互质，${\displaystyle ax-by=1}$有无穷多对正整数解${\displaystyle (x,y)}$。

选取最小的正整数解${\displaystyle (m,n)}$。取单位分数分母为${\displaystyle bm}$，重复步骤。

以${\displaystyle {\frac {7}{10))}$为例：

• ${\displaystyle 7\times 3-10\times 2=1}$ ，所以第1个单位分数是${\displaystyle {\frac {1}{30))}$；
• ${\displaystyle 2\times 2-3\times 1=1}$，所以第2个单位分数是${\displaystyle {\frac {1}{6))}$；
• 第3个单位分数是${\displaystyle {\frac {1}{2))}$。

二进制

最基本的方法就是将分数写成二进制数，便能将该分数写成分母为二的幂的单位分数之和。

换个说法就是重复求最小的正整数${\displaystyle n}$使得${\displaystyle {\frac {x}{y))>{\frac {1}{2^{n))))$。

这个方法的效率很低。

一个改善之道是选取正整数${\displaystyle n}$使得${\displaystyle (2^{n}\times x){\bmod {y))<2^{n+1))$。选取适当的正整数${\displaystyle r,s}$（${\displaystyle r<y}$）使得${\displaystyle 2^{n}\times x=sy+r}$。${\displaystyle {\frac {x}{y))={\frac {s}{2^{n))}+{\frac {r}{2^{n}\times y))}$。将${\displaystyle {\frac {s}{2^{n))},{\frac {r}{2^{n))))$写成二进制数。

例如： ${\displaystyle {\frac {18}{23))}$：

• ${\displaystyle (4\times 18){\bmod {2))3<8}$，${\displaystyle 4\times 18=23\times 3+3}$
• ${\displaystyle {\frac {18}{23))={\frac {3}{4))+{\frac {3}{4\times 23))}$
• ${\displaystyle {\frac {3}{4))=0.15={\frac {1}{2))+{\frac {1}{4))}$
• ${\displaystyle {\frac {18}{23))={\frac {1}{2))+{\frac {1}{4))+{\frac {1}{2\times 23))+{\frac {1}{4\times 23))}$

分拆

将一个分数表示成未必相异的单位分数之和。若有两个单位分数相同，可以用以下其中一种处理方式：

1. 若它们的分母是双数，便用它们的和取代；若它们的分母是单数，设它们的分母为${\displaystyle 2k-1}$，用${\displaystyle {\frac {1}{k))+{\frac {1}{(2k-1)k))}$取代。
2. 设它们的分母为${\displaystyle p}$，用${\displaystyle {\frac {1}{p))+{\frac {1}{p+1))+{\frac {1}{(p+1)p))}$取代。

或是${\displaystyle {\frac {1}{n))={\frac {1}{n+1))+{\frac {1}{n(n+1)))}$←${\displaystyle n}$可等于任意正整数

${\displaystyle {\frac {1}{n))}$表示成为一个级数形式：

${\displaystyle {\frac {1}{n))={\frac {1}{n+1))+{\frac {1}{(n+1)^{2))}+{\frac {1}{(n+1)^{3))}+{\frac {1}{(n+1)^{4))}+...+{\frac {1}{(n+1)^{k))}+{\frac {1}{n(n+1)^{k))))$

Engel展开式

• 参看Engel展开式。方法类同于贪心法

历史

数学史家有时论述代数的发展分为三个基本阶段：

1. 文字代数：其问题以古代数学家所用的文字表述；
2. 省文代数：简化问题中一些字词，以帮助理解；
3. 符号代数：以符号代表运算符和算子，使更容易理解。

未知数以符号形式通常记为。我们从古埃及文稿得知，埃及祭司和书记采用文字代数的方式，以一个解为“堆”或“集”的字“阿哈”来表示未知数。

这是现存在伦敦的大英博物馆的莱因德数学纸草书（第二中间期）所载，其中一个阿哈问题的翻译：

“问题24： 一个数量和它的${\displaystyle {\frac {1}{7))}$加起来是19。这数量是什么？”

“假设是7。7和7的${\displaystyle {\frac {1}{7))}$是8。8要乘上多少倍以得到19，7也要乘上这样多倍以得到所要的数量。”

以现在的符号形式，${\displaystyle x+{\frac {x}{7))={\frac {8x}{7))=19}$，故此${\displaystyle {x}={\frac {133}{8))}$。检查： ${\displaystyle {\frac {133}{8))+{\frac {133}{7\times 8))={\frac {133}{8))+{\frac {19}{8))={\frac {152}{8))=19}$。

注意问题中的分数。古埃及人以单位分数计算，如${\displaystyle {\frac {1}{2)),{\frac {1}{3)),{\frac {1}{4)),{\frac {1}{10))}$。

一个形状如开口的象形文字是表记分数的符号，这“开口”下有象形文字的数字就是分数的分母。

参见

• 丢番图方程
• 单位分数
• 欧德斯-斯特劳斯猜想

外部链接

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