算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

例如：${\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2))$，${\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2))$，${\displaystyle 5207=41\times 127}$。

算术基本定理的内容由两部分构成：

• 分解的存在性：
• 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

${\displaystyle \forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i))=A}$. 其中 ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n))$ 而且 ${\displaystyle p_{i))$ 是一个质数，${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+))$.

这种表示的方法存在，而且是唯一的。

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数${\displaystyle p|ab}$，则不是 ${\displaystyle p|a}$，就是${\displaystyle p|b}$。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

用反证法：假设存在大于 ${\displaystyle 1}$ 的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为 ${\displaystyle n}$。

${\displaystyle n}$ 不可为质数，因为 ${\displaystyle n=n}$ 可被写成质数的乘积。因此 ${\displaystyle n}$ 一定是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于 ${\displaystyle 1}$ 的自然数的积。设 ${\displaystyle n=a\times b}$ ，则根据假设，由于 ${\displaystyle n}$ 是最小的不能被写成质数乘积的自然数，所以 ${\displaystyle a=p_{1}p_{2}...p_{j))$ 和 ${\displaystyle b=q_{1}q_{2}...q_{j))$ 都能被写成质数的乘积。然而 ${\displaystyle n=ab=p_{1}p_{2}...p_{j}q_{1}q_{2}...q_{j))$ 也可以写成质数的乘积，由此产生矛盾，故大于 ${\displaystyle 1}$ 的自然数必可写成质数的乘积。

欧几里得引理：若质数${\displaystyle p|ab}$，则不是 ${\displaystyle p|a}$，就是${\displaystyle p|b}$。

引理的证明：若${\displaystyle p|a}$ 则证明完毕。若${\displaystyle p\nmid a}$，那么两者的最大公约数为1。根据贝祖等式，存在${\displaystyle (m,n)}$ 使得${\displaystyle ma+np=1}$。于是${\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp}$。 由于${\displaystyle p|ab}$，上式右边两项都可以被p整除。所以${\displaystyle p|b}$。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设${\displaystyle n}$是其中最小的一个。

首先${\displaystyle n}$不是质数。将${\displaystyle n}$用两种方法写出：${\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s))$ 。根据引理，质数${\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s))$ ，所以${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s))$ 中有一个能被${\displaystyle p_{1))$整除，不妨设为${\displaystyle q_{1))$。但${\displaystyle q_{1))$也是质数，因此${\displaystyle q_{1}=p_{1))$ 。所以，比${\displaystyle n}$小的正整数${\displaystyle n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r))$也可以写成${\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s))$ 。这与${\displaystyle n}$ 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D)))\quad (D\in \mathbb {N} )}$ 之中，只有少数几个能满足，最大的一个 ${\displaystyle D}$ 是 ${\displaystyle D=163}$。例如，${\displaystyle 6}$可以以两种方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5))]}$ 中表成整数乘积：${\displaystyle 2\times 3}$ 和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))}$。同样的，在分圆整数中一般也不存在唯一分解性，而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

欧几里得在普通整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1))]}$ 中得出并证明，只要不计四个可逆元素 ${\displaystyle (\pm 1,\pm i)}$ 之作用，那么这个唯一分解定理在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1))]}$ 也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

对于二次方程：${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}$，它的根可以表示为： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ ))}{2a))}$

因为负数不能开平方，${\displaystyle b^{2}-4ac}$的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163}$ 两个复数解为: ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163))i}{2))}$

${\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d))}$哪个${\displaystyle d}$值可以得到唯一分解定理？ ${\displaystyle d=1,2,3}$皆可得到定理，但当${\displaystyle d=5}$时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 ${\displaystyle 6=2\times 3}$；${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))}$。在高斯时代，已知有9个${\displaystyle d}$使得${\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d))}$所产生的数有唯一因子分解（${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$如上面指出那样取值）。 ${\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}$高斯认为${\displaystyle d}$的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（英语：Kurt Heegner）（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个${\displaystyle d}$值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

• （英文） Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project （页面存档备份，存于互联网档案馆）

查 论 编 和因数有关的整数分类 简介 质因数分解 因数 元因数 除数函数 质因数 算术基本定理 依因数分解分类 质数 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 幂数 质数幂 平方数 立方数 次方数 阿喀琉斯数 光滑数 正规数 粗糙数 不寻常数 依因数和分类 完全数 殆完全数 准完全数 多重完全数 Hemiperfect数 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number） 超完全数 元完全数 半完全数 本原半完全数 实际数 有许多因数 过剩数 本原过剩数 高过剩数 超过剩数 可罗萨里过剩数 高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number） 奇异数 和真因子和数列有关 不可及数 相亲数 交际数 婚约数 其他 亏数 友谊数 孤独数 卓越数 欧尔调和数 佩服数 节俭数 等数位数 奢侈数