理想 (Ideal)是一个环论 中的概念。
若某环 的子集为在原环加法的定义下的子群 ,且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中,则称其为原环的理想 。
通俗地说,一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。
理想把整数 的某些子集,例如偶数 或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或相减结果仍是偶数,偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数;这些闭包 和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环 ,这类似于在群论 里,正规子群 可以被用来构造商群 。
恩斯特·库默尔 提出了理想数 的概念,以此作为那些不具有唯一因子分解的数环的“缺失”的因子。“理想”在这里的意思是它只存在于想象中,可以类比在几何中那些“理想”的几何对象,比如无穷远处的点。[1] 随后在1876年,理查德·戴德金 在狄利克雷 的数论讲义 书的第三版中用被称为“理想”的数的集合代替了库默尔之前未定义的概念。[1] [2] [3] 之后这个概念被大卫·希尔伯特 和艾米·诺特 从数环拓展到了多项式环以及其他交换环上。
环 (R,+,·),已知(R, +)是阿贝尔群 。R的子集I称为R的一个右理想 ,若I满足:
(I, +)构成(R, +)的子群。
∀i ∈ I,r ∈ R,i·r ∈ I。 类似地,I称为R的左理想 ,若以下条件成立:
(I, +)构成(R, +)的子群。
∀i ∈ I,r ∈ R,r·i ∈ I。 若I既是R的右理想,也是R的左理想,则称I为R的双边理想 ,简称R上的理想 。
在环中,(左或右)理想的交和并仍然是(左或右)理想。 对于R的两个理想A,B,记
A
B
=
{
∑
k
=
0
n
a
k
b
k
|
a
k
∈
A
,
b
k
∈
B
}
{\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\))
。按定义不难证明: 如果A是R的左理想,则AB是R的左理想。
如果B是R的右理想,则AB是R的右理想。
如果A是R的左理想,B是R的右理想,则AB是R的双边理想。 ∀a,b ∈ I,a - b∈I。
∀a ∈ I, r ∈ R,则a·r∈ I。 除环的理想:除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。 如果
A
{\displaystyle A}
是环
R
{\displaystyle R}
的一个非空子集,令
⟨
A
⟩
=
R
A
+
A
R
+
R
A
R
+
Z
A
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle =RA+AR+RAR+\mathbb {Z} A}
, 其中
Z
A
=
{
∑
i
=
1
n
m
i
a
i
:
m
i
∈
Z
,
a
i
∈
A
,
n
≥
1
}
;
{\displaystyle \mathbb {Z} A=\left\{\sum _{i=1}^{n}m_{i}a_{i}:m_{i}\in \mathbb {Z} ,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};}
R
A
=
{
∑
i
=
1
n
r
i
a
i
:
r
i
∈
R
,
a
i
∈
A
,
n
≥
1
}
;
{\displaystyle RA=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};}
A
R
=
{
∑
i
=
1
n
a
i
r
i
:
r
i
∈
R
,
a
i
∈
A
,
n
≥
1
}
;
{\displaystyle AR=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};}
R
A
R
=
{
∑
i
=
1
n
r
i
a
i
r
i
′
:
r
i
,
r
i
′
∈
R
,
a
i
∈
A
,
n
≥
1
}
,
{\displaystyle RAR=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}r_{i}':r_{i},r_{i}'\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\},}
则
⟨
A
⟩
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle }
是环
R
{\displaystyle R}
的理想,这个理想称为
R
{\displaystyle R}
中由
A
{\displaystyle A}
生成的理想,
A
{\displaystyle A}
称为生成元集。同群的生成子群类似,
⟨
A
⟩
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle }
是
R
{\displaystyle R}
中所有包含
A
{\displaystyle A}
的理想的交,因此是
R
{\displaystyle R}
中包含
A
{\displaystyle A}
的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况:
当
R
{\displaystyle R}
是交换环时,
⟨
A
⟩
=
R
A
+
Z
A
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle =RA+\mathbb {Z} A}
;
当
R
{\displaystyle R}
是有单位元
1
{\displaystyle 1}
的环时,
⟨
A
⟩
=
R
A
R
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle =RAR}
;
当
R
{\displaystyle R}
是有单位元的交换环时,
⟨
A
⟩
=
R
A
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle =RA}
. 设集合A = {a1 ,a2 ,...,an },则记<A> = <a1 ,a2 ,...,an >,称
⟨
A
⟩
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle }
是有限生成理想。特别当
A
=
{
a
}
{\displaystyle A=\left\{a\right\))
是单元素集时,称
⟨
A
⟩
=
⟨
a
⟩
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle }
为环R的主理想。注意
{
a
}
{\displaystyle \left\{a\right\))
作为生成元一般不是唯一的,如
⟨
a
⟩
=
⟨
−
a
⟩
{\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle }
。
⟨
a
⟩
{\displaystyle \left\langle a\right\rangle }
的一般形式是:
⟨
a
⟩
=
{
∑
k
=
1
m
x
k
a
y
k
+
s
a
+
a
t
+
n
a
|
x
k
,
y
k
,
s
,
t
∈
R
,
n
,
m
∈
Z
}
{\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}+sa+at+na|x_{k},y_{k},s,t\in R,n,m\in Z\right\))
性质:
⟨
A
⟩
=
∑
a
∈
A
⟨
a
⟩
{\displaystyle \left\langle A\right\rangle =\sum _{a\in A}\left\langle a\right\rangle }
几类特殊环中的主理想: 如果是交换环,则
⟨
a
⟩
=
{
s
a
+
n
a
|
s
∈
R
,
n
∈
Z
}
{\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\))
如果是有单位元的环,则
⟨
a
⟩
=
{
∑
k
=
1
m
x
k
a
y
k
|
x
k
,
y
k
∈
R
,
m
∈
Z
,
m
>
0
}
{\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\))
如果是有单位元的交换环,则
⟨
a
⟩
=
{
s
a
|
s
∈
R
}
{\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\))
真理想 :若I是环R的理想,且I是R的真子集 ,I称为R的真理想 。
极大理想 :环R的一个真理想I被称为R的极大理想,若不存在其他真理想J,使得I是J的真子集 。
极大左理想 :设I是环R的左理想,若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想,则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系:
如果I是极大左理想,又是双边理想,则I是极大理想。
极大理想未必是极大左理想。
单环 :在幺环中,若零理想是其极大理想,称该环为单环 。
在整数环Z 中,由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是:p是素数。
设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是:商环 R / I是域。
设I是环R的左理想,则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。 素理想 :环R的真理想I被称为素理想 ,若∀R上的理想A,B,有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
素环 :若环R的零理想是素理想,则称R是素环 (或质环 )。
无零因子环是素环。
在交换环R中,真理想I是素理想的充要条件是:R / I是素环。
准素理想 :环R的真理想I。若∀R上的理想P,有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I,称I是R的准素理想 。
准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想,反之不成立。 Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
Lang, Serge . Undergraduate Algebra Third. Springer-Verlag . 2005. ISBN 978-0-387-22025-3 .
Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules . Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , 1971, MR 0349811 , Zbl 0237.18005
^ 1.0 1.1 John Stillwell. Mathematics and its history . 2010: 439 .
^ Harold M. Edwards. Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. 1977: 76.
^ Everest G., Ward T. An introduction to number theory. 2005: 83.