在数论上，除数函数 ${\displaystyle \sigma _{x}(n)}$ 是一类算术函数，定义为 ${\displaystyle n}$ 的正约数的 ${\displaystyle x}$ 次幂之和，即 ${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x))$。

其中一些特殊情况：

• ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ ：${\displaystyle n}$ 的正约数的数目
• ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$ ：${\displaystyle n}$ 的正约数之和（包括自己），若扣除${\displaystyle n}$本身则称为真约数和。

部分 ${\displaystyle \sigma _{x}(n)}$ 的值

${\displaystyle n}$	${\displaystyle x}$
	0	1	2
1	1	1	1
2	2	3	5
3	2	4	10
4	3	7	21
5	2	6	26
10	4	18	130
12	6	28	210
20	6	42	546
25	3	31	651

• ${\displaystyle \sigma _{x}(n)}$ 都是积性函数，但不是完全积性。
• ${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1))}$，其与 ${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i))p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x})}$（${\displaystyle n}$ 的各约数的 ${\displaystyle x}$ 次方后的和，其在 ${\displaystyle x=1}$ 时即为 ${\displaystyle n}$ 包括 ${\displaystyle n}$ 本身在内的各约数的和）相等。
• ${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu )).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s))}=\zeta (s)\zeta (s-a).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b))).}$

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9

查 论 编 和约数有关的整数分类 简介 素因数分解 约数 元约数 除数函数 素因数 算术基本定理 依约数分解分类 素数 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 幂数 素数幂 平方数 立方数 次方数 阿喀琉斯数 光滑数 正规数 粗糙数 不寻常数 依约数和分类 完全数 殆完全数 准完全数 多重完全数 Hemiperfect数 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number） 超完全数 元完全数 半完全数 本原半完全数 实际数 有许多约数 过剩数 本原过剩数 高过剩数 超过剩数 可罗萨里过剩数 高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number） 奇异数 和真因子和数列有关 不可及数 相亲数 交际数 婚约数 其他 亏数 友谊数 孤独数 卓越数 欧尔调和数 佩服数 节俭数 等数位数 奢侈数