真约数和
由于已知的技术原因，图表暂时不可用。带来不便，我们深表歉意。
真约数和函数的图形
真约数和，又称真因子和，在数论中，一个正整数的所有真约数之和，即除了自己本身外的所有正约数之和，通常以来表示：
真约数和可以用来描述素数、完全数、相亲数链、亏数、过剩数和不可及数，也可以用于定义整数的真约数和数列。
例子
以12为例，12的真约数（即除了自己本身外的所有正约数）有1、2、3、4和6，则其真约数和为
下面数列呈现前几个整数的真约数和 [1]
数字类别的性质
真约数和函数可以用来区分几个特别的数字类别：
- 1是唯一一个真约数和为0的正整数。
- 如果一个正整数真约数和为1则代表该数是一个素数[2]。
- 完全数的真约数和等于本身、亏数的真约数和小于本身、过剩数的真约数和大于本身[2]。准完全数（如果存在的话）真约数和为n+1。殆完全数（目前已知仅有2的幂）真约数和为n-1。
- 不可及数是指不是任何数之真约数和的数。相关研究至少可以追溯到大约公元1000年伊本·塔希尔·巴格达迪的研究，其发现2和5都是不可及数[2][3]。埃尔德什·帕尔证明有无限多个不可及数[4]。目前尚未确定5是否为唯一的奇数不可及数，但可以从哥德巴赫猜想的一种形式与半素数pq的真约数和为p+q+1的观察得出[2]。
数学家保罗·波拉克（Paul Pollack）和卡尔·帕梅朗斯指出，埃尔德什·帕尔“最喜欢的研究项目”是真约数和。[2]
迭代
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主条目：真因子和数列 |
迭代真约数和函数可以产生非负整数的真约数和数列n, s(n), s(s(n)), ...（在这个数列中，我们定义s(0) = 0）。
参见
- 除数函数：一数之正约数的x次方和
- 纪尧姆·德奥贝里夫：中世纪的命理学家，对真约数和感兴趣
参考文献
- ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10
- ^ Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408
- ^ Erdős, P., Über die Zahlen der Form und (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, （原始内容存档 (PDF)于2022-08-05）
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
外部链接
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