在抽象代数中，一个群的交换子（commutator）或换位子是一个二元运算子。设g及h 是 群G中的元素，他们的交换子是g ⁻¹ h ⁻¹ gh，常记为[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。

群G中两个元素g和h的交换子为元素

[g, h] = g⁻¹h⁻¹gh

它等于群的幺元当且仅当g和h可交换（即gh = hg）。

环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即

${\displaystyle [{\hat {A)),{\hat {B))]={\hat {A)){\hat {B))-{\hat {B)){\hat {A))}$；

其中；${\displaystyle {\hat {A))}$、${\displaystyle {\hat {B))}$均为量子力学的算符，${\displaystyle [{\hat {A)),{\hat {B))]}$是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称${\displaystyle {\hat {A))}$、${\displaystyle {\hat {B))}$是对易的，即意味着${\displaystyle {\hat {A))}$和${\displaystyle {\hat {B))}$两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

量子力学中，交换子有以下特性:

${\displaystyle [{\hat {A)),{\hat {B))]=-[{\hat {B)),{\hat {A))]}$

${\displaystyle [{\hat {A)),{\hat {B))+{\hat {C))]=[{\hat {A)),{\hat {B))]+[{\hat {A)),{\hat {C))],\quad [{\hat {A))+{\hat {B)),{\hat {C))]=[{\hat {A)),{\hat {C))]+[{\hat {B)),{\hat {C))]}$

${\displaystyle [{\hat {A)),{\hat {B)){\hat {C))]=[{\hat {A)),{\hat {B))]{\hat {C))+{\hat {B))[{\hat {A)),{\hat {C))],\quad [{\hat {A)){\hat {B)),{\hat {C))]=[{\hat {A)),{\hat {C))]{\hat {B))+{\hat {A))[{\hat {B)),{\hat {C))]}$

${\displaystyle [{\hat {A)),{\hat {A))^{n}]=0,\quad n=1,2,3...}$

${\displaystyle [k{\hat {A)),{\hat {B))]=[{\hat {A)),k{\hat {B))]=k[{\hat {A)),{\hat {B))]}$

${\displaystyle [{\hat {A)),[{\hat {B)),{\hat {C))]]+[{\hat {C)),[{\hat {A)),{\hat {B))]]+[{\hat {B)),[{\hat {C)),{\hat {A))]]=0}$

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下，${\displaystyle {\hat {x))}$是位置算符、${\displaystyle {\hat {p))}$是动量算符、${\displaystyle {\hat {L))}$是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而${\displaystyle \delta _{ij))$是克罗内克δ、${\displaystyle \epsilon _{ijk))$是列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系	更具体的形式
${\displaystyle [{\hat {x))_{i},{\hat {x))_{j}]=0}$	${\displaystyle [{\hat {x)),{\hat {x))]=0}$、${\displaystyle [{\hat {x)),{\hat {y))]=0}$
${\displaystyle [{\hat {p))_{i},{\hat {p))_{j}]=0}$	${\displaystyle [{\hat {p))_{x},{\hat {p))_{x}]=0}$、${\displaystyle [{\hat {p))_{x},{\hat {p))_{y}]=0}$
${\displaystyle [{\hat {x))_{i},{\hat {p))_{j}]=i\hbar \delta _{ij))$	${\displaystyle [{\hat {x)),{\hat {p))_{x}]=i\hbar }$、${\displaystyle [{\hat {x)),{\hat {p))_{y}]=0}$、${\displaystyle [{\hat {y)),{\hat {p))_{x}]=0}$、${\displaystyle [{\hat {y)),{\hat {p))_{y}]=i\hbar }$
${\displaystyle [{\hat {L))_{i},{\hat {L))_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L))_{k))$	${\displaystyle [{\hat {L))_{x},{\hat {L))_{y}]=i\hbar {\hat {L))_{z))$、${\displaystyle [{\hat {L))_{y},{\hat {L))_{z}]=i\hbar {\hat {L))_{x))$、${\displaystyle [{\hat {L))_{z},{\hat {L))_{x}]=i\hbar {\hat {L))_{y))$

物理学中，正则对易关系是正则共轭的量之间的关系，这样的量从定义可以发现：一个量是其共轭量的傅里叶变换的结果。举例来说：

${\displaystyle [x,p]=i\hbar }$

上面的x与p分别为一维空间中的一点粒子的位置与动量，而${\displaystyle [x,p]=xp-px}$为所谓${\displaystyle x}$与${\displaystyle p}$的交换算符，${\displaystyle i}$是虚数单位，${\displaystyle \hbar }$为约化普朗克常数，等于${\displaystyle h/2\pi }$。此一关系常归功于马克斯·玻恩，并且此式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理。

相对于量子力学，经典物理中所有可观测量都可对易（交换），而交换算符会是零；然而仍然有类似的关系存在：需将交换子换成泊松括号，且常数${\displaystyle i\hbar }$换成${\displaystyle 1}$：

${\displaystyle \{x,p\}=1\,\!}$

这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设：一般来说，经典的观测量${\displaystyle f,g}$其量子对应项${\displaystyle {\hat {f)),{\hat {g))}$应满足

${\displaystyle [{\hat {f)),{\hat {g))]=i\hbar {\widehat {\{f,g\))}\,}$。

于1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制，称作魏尔量子化（Weyl quantization），为了一种称作形变量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了数学途径。

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• Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics 2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X  含有内容需登入查看的页面 (link)
• Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975 
• Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5 
• McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994 
• McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 

• 正则量子化
• 正则变换
• 李导数
• 群
• 李代数
• 泊松括号
• 雅可比恒等式