无平方因子数^[1]（英语：square-free integer）是指其约数中，没有一个是平方数的正整数。简言之，将一个这样的数予以素因数分解后，所有素因数的幂都不会大于或等于2。例如：54=${\displaystyle }$${\displaystyle 2\times 3^{3))$，由于54有约数是平方数（${\displaystyle 3^{2}=9}$），所以54不是无平方因子数；而55=${\displaystyle }$${\displaystyle 5\times 11}$，55没有约数是平方数，所以55是无平方因子数。

以数学概念说明：若一个数${\displaystyle R}$是无平方因子数，则对于任意平方数${\displaystyle S^{2))$且${\displaystyle S^{2}\leq R}$则${\displaystyle S^{2}\nmid R}$；或者说当${\displaystyle R=P_{1}P_{2}P_{3}...P_{n))$且${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},...,P_{n))$皆为素数时，对于任意${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$，${\displaystyle i\neq j}$而言，${\displaystyle P_{i}\neq P_{j))$

另一方面，默比乌斯函数${\displaystyle \mu (n)\neq 0}$当且仅当${\displaystyle n\geq 1}$且${\displaystyle n=1}$或${\displaystyle n}$为无平方因子数时

前20个无平方约数的数是：1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31（OEIS数列A005117）

由于无平方因子数的所有素因数指数均为一次方，故除1以外，有关数的正约数数目必定是2的非负整数次方。

将无平方因子数分解为两数之积，这两数一定互素。^{[查证请求][来源请求][原创研究？]}

依定义，显然所有的素数、楔形数、素数阶乘与有4个正约数的半素数都是无平方因子数。

不含平方因子的数的分布

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数，则：

${\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2))}+O({\sqrt {x)))}$

因此，不含平方因子的数的自然密度为：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x))={\frac {6}{\pi ^{2))}={\frac {1}{\zeta (2)))}$

其中ζ是黎曼ζ函数。

类似地，如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数，则我们可以证明：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x))={\frac {1}{\zeta (n))).}$

参考文献

查 论 编 和约数有关的整数分类 简介 素因数分解 约数 元约数 除数函数 素因数 算术基本定理 依约数分解分类 素数 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 幂数 素数幂 平方数 立方数 次方数 阿喀琉斯数 光滑数 正规数 粗糙数 不寻常数 依约数和分类 完全数 殆完全数 准完全数 多重完全数 Hemiperfect数 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number） 超完全数 元完全数 半完全数 本原半完全数 实际数 有许多约数 过剩数 本原过剩数 高过剩数 超过剩数 可罗萨里过剩数 高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number） 奇异数 和真因子和数列有关 不可及数 相亲数 交际数 婚约数 其他 亏数 友谊数 孤独数 卓越数 欧尔调和数 佩服数 节俭数 等数位数 奢侈数