李群
典型群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n)
单李群 无限单李群 An, Bn, Cn, Dn 特殊单李群 G2（英语：G2 (mathematics)） F4 E6 E7 E8（英语：E8 (mathematics)）
其他李群（英语：Table of Lie groups） 圆群 劳仑兹群 庞加莱群 共形群（英语：Conformal group） 微分同胚群 圈群（英语：Loop group） 欧几里得群
李代数 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称
半单李代数 丹金图（英语：Dynkin diagram） 嘉当子代数 根系 外尔群 分裂李代数 紧李代数
群表示论 李群表示 李代数表示（英语：Lie algebra representation）
物理中的李群 粒子物理学与群表示论（英语：Particle physics and representation theory） 洛仑兹群的群表示论（英语：Representation theory of the Lorentz group） 庞加莱群的群表示论（英语：Representation theory of the Poincaré group） 伽利略群的群表示论（英语：Representation theory of the Galilean group）
科学家 索菲斯·李 庞加莱 威廉·基灵 埃利·嘉当 赫尔曼·外尔 克劳德·谢瓦莱 哈里希-钱德拉
查 论 编

数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由

${\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}\;}$给出。

这里Q^T是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。

更一般地，F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群，称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特征为2，那么1 = −1，从而O(n,F)和SO(n,F)相等；其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指数是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(n,F)为迪克森不变量的核，这样它在O(n,F)中总有指数2。

O(n,F)和SO(n,F)都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是Rⁿ的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。

SO(n,R)是E⁺(n)的子群，E⁺(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群；如果n是偶数，对SO(n,R)也对。如果n是奇数，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积。k重旋转循环群C_k对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。

取合适的正交基，等距是

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix))&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix))\\\end{bmatrix))}$

的形式。这里矩阵R₁,...,R_k是2×2旋转矩阵。

圆的对称群是O(2,R)，也称为Dih(S¹)，这里S¹是模长1复数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆S¹（圆群）。这个同构将复数exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{bmatrix))}$。

群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式

在代数拓扑方面，对n > 2，SO(n,R)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠）

李群O(n,R)和SO(n,R的李代数由斜对称实n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R)或so(n,R)。

保持R³原点不动的同构，组成群O(3,R)，能分成如下几类：

• SO(3,R):
  • 恒同
  • 绕一个过原点的轴转动不等于180°
  • 绕一个过原点的轴转动180°
• 以上与关于原点的点反演（x映到−x）复合，分别为：
  • 关于原点的点反演
  • 绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
  • 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rⁿ的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积：${\displaystyle \operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} }$；如果n是偶数，两个子群的交是${\displaystyle \pm 1}$，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：${\displaystyle \operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}$。

我们可以类似地定义CSO(n)，这时总有${\displaystyle \operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}$。

复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群，这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。

和实情形一样，SO(n,C)不是单连通的，对n > 2 SO(n,C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。

O(n,C)和SO(n,C)的复李代数由斜对称复n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。

低维实正交群是熟悉的空间：

${\displaystyle {\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned))}$

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

${\displaystyle O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)}$

的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

${\displaystyle S^{n))$是${\displaystyle O(n+1)}$的齐性空间，从而有如下纤维丛：

${\displaystyle O(n)\to O(n+1)\to S^{n},}$

可以理解为：正交群${\displaystyle O(n+1)}$ 传递地作用于单位球面${\displaystyle S^{n))$上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射${\displaystyle O(n)\to O(n+1)}$是自然包含。

从而包含${\displaystyle O(n)\to O(n+1)}$是(n-1) -连通的，故同伦群稳定，对${\displaystyle n>k+1}$有${\displaystyle \pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))}$，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理，${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O}$，从而O的同伦群以8为周期，即 ${\displaystyle \pi _{k+8}O=\pi _{k}O}$，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned))}$

通过cluching construction，稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：${\displaystyle \pi _{k}O=\pi _{k+1}BO}$。

设${\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} }$（使得${\displaystyle \pi _{0))$满足周期性），我们得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned))}$

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

• ${\displaystyle \pi _{0}(O)=\pi _{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2}$保持/反定向（这个类存留到${\displaystyle O(2)}$从而稳定）

${\displaystyle SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)}$得出：

• ${\displaystyle \pi _{1}(O)=\pi _{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2}$即自旋群
• ${\displaystyle \pi _{2}(O)=\pi _{2}(SO(3))=0}$，有到${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))}$的满射，从而后一个群消失。

由李群一般性事实，${\displaystyle \pi _{2}G}$总消失，${\displaystyle \pi _{3}G}$是自由阿贝尔群。

从向量丛的观点来看，${\displaystyle \pi _{0}(KO)}$是${\displaystyle S^{0))$上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以

${\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }$是维数。

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用${\displaystyle \pi _{0))$、O，以及O/U有两个分支，${\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} }$和${\displaystyle KSp=BSp\times \mathbf {Z} }$有${\displaystyle \mathbf {Z} }$个分支，其实是连通的。

一小部分结论：^[1]

• ${\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }$是维数
• ${\displaystyle \pi _{1}(KO)=\mathbf {Z} /2}$是定向
• ${\displaystyle \pi _{2}(KO)=\mathbf {Z} /2}$是自旋
• ${\displaystyle \pi _{4}(KO)=\mathbf {Z} }$是拓扑量子场理论

令${\displaystyle F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} }$，以及${\displaystyle L_{F))$为射影线${\displaystyle \mathbf {FP} ^{1))$上的重复线丛，${\displaystyle [L_{F}]}$是其K-理论。注意到${\displaystyle \mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8))$，这些得出相应球面上的向量丛，以及：

• ${\displaystyle \pi _{1}(KO)}$由${\displaystyle [L_{\mathbf {R} }]}$生成
• ${\displaystyle \pi _{2}(KO)}$由${\displaystyle [L_{\mathbf {C} }]}$生成
• ${\displaystyle \pi _{4}(KO)}$由${\displaystyle [L_{\mathbf {H} }]}$生成
• ${\displaystyle \pi _{8}(KO)}$由${\displaystyle [L_{\mathbf {O} }]}$生成

正交群也能定义在有限域${\displaystyle \mathbf {F} _{q))$上，这里${\displaystyle q}$是一个素数${\displaystyle p}$的幂。在这样的域上定义正交群，偶数维时有两类：${\displaystyle O^{+}(2n,q)}$和${\displaystyle O^{-}(2n,q)}$；奇数维有一类：${\displaystyle O(2n+1,q)}$。

如果${\displaystyle V}$是正交群${\displaystyle G}$作用的向量空间，它可以写成正交直和：

${\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W}$，

这里${\displaystyle L_{i))$是双曲线而${\displaystyle W}$不包含奇异向量。如果${\displaystyle W=0}$，那么${\displaystyle G}$是正类型；若${\displaystyle W=<w>}$那么${\displaystyle G}$有偶维数；若${\displaystyle W}$有维数2，则${\displaystyle G}$是负类型。

在n = 1的特例，${\displaystyle O^{\epsilon }(2,q)}$是阶为${\displaystyle 2(q-\epsilon )}$的二面体群。

当特征大于2时，记O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·A^t=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式

${\displaystyle |O(2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$。

如果${\displaystyle -1}$是${\displaystyle \mathbf {F} _{q))$中的平方元素

${\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$。

如果${\displaystyle -1}$不是${\displaystyle \mathbf {F} _{q))$中的平方元素

${\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$。

对偶数维正交群，迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同：

• 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是两个元素的域上的维特指标为2的4维向量空间（Grove 2002，Theorem 6.6 and 14.16）。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域，垂直于一个向量u的反射将v映为v+B(v,u)/Q(u)·u，这里B是一个双线性形式，Q是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是将v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，当奇特征和零特征时与比较两者不同。

• 特征2时正交群的中心总是1阶，而不是2阶。

• 在特征2的奇维数2n+1时，完全域上的正交群和2n维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的，而维数为奇数故总有一个1维的核，模去核的商是一个2n维辛空间，正交群作用在它上面。

• 在特征2的偶维数，正交群是辛群的一个子群，因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。

旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素

F^*/F^*2

的同态，将关于模长为n向量的反射映到F^*/F^*2中的n。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系； 但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H¹等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

${\displaystyle 1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow Pin_{V}\rightarrow O_{V}\rightarrow 1}$

这里μ₂是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从H⁰（就是取值于F中点的群O_V(F)）到H¹(μ₂)的连接同态本质上是spinor模，因为 H¹(μ₂)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的H¹到自旋群覆叠的核的H²也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：

${\displaystyle O(n)\supset O(n-1)}$

${\displaystyle O(2n)\supset SU(n)}$

${\displaystyle O(2n)\supset USp(n)}$

${\displaystyle O(7)\supset G_{2))$

正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

${\displaystyle SU(n)\supset O(n)}$

${\displaystyle USp(2n)\supset O(n)}$

${\displaystyle G_{2}\supset O(3)}$

${\displaystyle F_{4}\supset O(9)}$

${\displaystyle E_{6}\supset O(10)}$

${\displaystyle E_{7}\supset O(12)}$

${\displaystyle E_{8}\supset O(16)}$

群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

• 旋转群, SO(3,R)
• SO(8)
• 广义正交群
• 酉群
• 辛群
• 有限单群列表
• 单李群列表

1. ^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105. [2008-10-18]. （原始内容存档于2021-02-11）. 

• Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR1859189 

• John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• John Baez on Octonions （页面存档备份，存于互联网档案馆）