李群
典型群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n)
单李群 无限单李群 An, Bn, Cn, Dn 特殊单李群 G2（英语：G2 (mathematics)） F4 E6 E7 E8（英语：E8 (mathematics)）
其他李群（英语：Table of Lie groups） 圆群 劳仑兹群 庞加莱群 共形群（英语：Conformal group） 微分同胚群 圈群（英语：Loop group） 欧几里得群
李代数 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称
半单李代数 丹金图（英语：Dynkin diagram） 嘉当子代数 根系 外尔群 分裂李代数 紧李代数
群表示论 李群表示 李代数表示（英语：Lie algebra representation）
物理中的李群 粒子物理学与群表示论（英语：Particle physics and representation theory） 洛仑兹群的群表示论（英语：Representation theory of the Lorentz group） 庞加莱群的群表示论（英语：Representation theory of the Poincaré group） 伽利略群的群表示论（英语：Representation theory of the Galilean group）
科学家 索菲斯·李 庞加莱 威廉·基灵 埃利·嘉当 赫尔曼·外尔 克劳德·谢瓦莱 哈里希-钱德拉
查 论 编

在数学中，根系是欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群、李代数与代数群理论中格外重要；而根系分类的主要工具──邓肯图，也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

设 ${\displaystyle V}$ 为有限维实向量空间，并赋予标准的内积 ${\displaystyle (,)}$。${\displaystyle V}$ 中的根系是有限个向量（称为根）构成的集合 ${\displaystyle \Phi }$，满足下述条件：

1. ${\displaystyle \Phi }$ 的元素张出 ${\displaystyle V}$。
2. 对任一 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$，其属于 ${\displaystyle \Phi }$ 的标量倍数只有 ${\displaystyle \pm \alpha }$。
3. 对任意 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$，集合 ${\displaystyle \Phi }$ 在对 ${\displaystyle \alpha }$ 的反射之下不变。在此的反射是指

   ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )))\alpha \in \Phi .}$

4. （整性）若 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$，则 ${\displaystyle \beta }$ 在 ${\displaystyle \alpha }$ 方向的投影乘以2是 ${\displaystyle \alpha }$ 的整数倍，即：

   ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )))\in \mathbb {Z} ,}$

根据性质三，整性等价于：对任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$，${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )}$ 与 ${\displaystyle \beta }$ 仅差 ${\displaystyle \alpha }$ 的整数倍。此外，注意到性质四定义的尖积

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$

并非一个内积，它未必对称，而且只对第一个参数是线性的。

根系 ${\displaystyle \Phi }$ 的秩定义为 ${\displaystyle V}$ 的维度。

给定两个根系 ${\displaystyle (V,\Phi ),(W,\Psi )}$，可考虑其正交直和 ${\displaystyle V\oplus W}$，则 ${\displaystyle \Phi \sqcup \Psi }$ 自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合（当然，假设 ${\displaystyle V,W\neq \{0\))$），则称之为不可约的。

对两个根系 ${\displaystyle (E_{1},\Phi _{1}),(E_{2},\Phi _{2})}$，若存在其间的线性同构，使得 ${\displaystyle \Phi _{1))$ 映至 ${\displaystyle \Phi _{2))$，则称它们为同构的根系。

对于根系 ${\displaystyle (V,\Phi )}$，对根的反射生成一个群，称为该根系的外尔群。可证明此群在 ${\displaystyle \Phi }$ 上忠实地作用，因此必为有限群。

在同构的意义下，秩一的根系仅有一种，由两个非零向量 ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \))$ 组成。此根系记作 ${\displaystyle A_{1))$。

秩二的根系有四种可能，对应于${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$，其中${\displaystyle n=0,1,2,3}$的情况^[1]。注意根系并不由它生成的格所决定：${\displaystyle A_{1}\times A_{1))$ 和${\displaystyle B_{2))$均生成正方形格，而 ${\displaystyle A_{2))$和${\displaystyle G_{2))$ 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 图解如下：

秩二之根系

根系 A1×A1	根系 A2
根系 B2	根系 G2

当 ${\displaystyle \Phi }$ 是 ${\displaystyle V}$ 中的根系，而 ${\displaystyle W}$ 是 ${\displaystyle \Psi =\Phi \cap W}$ 在 ${\displaystyle W}$ 中生成的子空间，则 ${\displaystyle \Psi }$ 是 ${\displaystyle W}$ 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系，例如：任意两根的交角仅可能是 ${\displaystyle 0,30,45,60,90,120,135,150}$ 或 ${\displaystyle 180}$ 度。

对于根系 ${\displaystyle \Phi }$，可以取定满足下述条件的正根子集 ${\displaystyle \Phi ^{+))$：

• 对每个根 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$，${\displaystyle \alpha ,-\alpha }$ 中恰有一者属于 ${\displaystyle \Phi ^{+))$。
• 对任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+))$，若 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi }$，则 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+))$。

正根的取法并不唯一。取定一组正根后，${\displaystyle -\Phi ^{+))$ 的元素被称为负根。

正根的选取等价于单根的选取。单根集是 ${\displaystyle \Phi }$ 中满足下述条件的子集 ${\displaystyle \Delta }$：

任意 ${\displaystyle \Phi }$ 中的元素皆可唯一地表成 ${\displaystyle \Delta }$ 中元素的整系数线性组合，而且其系数或者全大于等于零，或者全小于等于零。

选定一组单根后，可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。

不可约根系与某类被称为邓肯图的图间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题，由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下：

给定一个不可约根系，选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ 若不垂直，则有 ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \cdot \langle \beta ,\alpha \rangle }$ 个边相连：若只有一个边，则不取定向，否则则取自长度 ${\displaystyle (\alpha ,\alpha )}$ 长者（称为长根）指向短者（称为短根）的有向边。

一个根系可以取多种不同的单根。然而，由于外尔群在这些选取上的作用是传递的，邓肯图的构造与单根的选取无关，它是根系内在的不变量。反之，给定具有相同邓肯图的两个不可约根系，可以按图配对单根及其间的内积，从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一，但至多差一个正常数倍，因而得到的根系是同构的 。

借此，可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系，则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的；配上这个条件后，即可解决根系的分类。

邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数，亦即相应根系的秩。

${\displaystyle \Phi }$	${\displaystyle |\Phi |}$	${\displaystyle |\Phi ^{<}|}$	I	${\displaystyle |W|}$
An (n≥1)	n(n+1)		n+1	(n+1)!
Bn (n≥2)	2n2	2n	2	2n n!
Cn (n≥3)	2n2	2n(n−1)	2	2n n!
Dn (n≥4)	2n(n−1)		4	2n−1 n!
E6	72		3	51840
E7	126		2	2903040
E8	240		1	696729600
F4	48	24	1	1152
G2	12	6	1	12

不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系：${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n))$，其下标分别取遍 ${\displaystyle n\geq 1,2,3,4}$ 的正整数，称为典型根系；剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中， ${\displaystyle |\Phi ^{<}|}$ 表示短根的个数（若诸根同长，则皆视为长根），${\displaystyle I}$ 表示其嘉当矩阵的行列式，而 ${\displaystyle |W|}$ 表示外尔群之阶。

取 ${\displaystyle V}$ 为 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1))$ 中满足 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=0}$ 的点 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n+1})}$ 所成之子空间。令 ${\displaystyle \Phi }$ 为 ${\displaystyle V}$ 中长度为 ${\displaystyle {\sqrt {2))}$ 的格子点。取 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1))$ 的标准基 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n+1))$，则根具有 ${\displaystyle e_{i}-e_{j}\;(i\neq j)}$ 的形式，共有 ${\displaystyle n(n+1)}$ 个根。通常取单根为 ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1))$。

对垂直于 ${\displaystyle \alpha _{i))$ 的超平面的镜射在 ${\displaystyle \Phi }$ 上的作用是交换第 ${\displaystyle i,i+1}$ 个座标。因此 ${\displaystyle A_{n))$ 的外尔群不外就是对称群 ${\displaystyle S_{n+1))$。

${\displaystyle A_{n))$ 是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(n+1,\mathbb {C} )}$ 的根系。

取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n))$，并令 ${\displaystyle \Phi }$ 为 ${\displaystyle V}$ 中长度为 ${\displaystyle 1,{\sqrt {2))}$ 的格子点。共有 ${\displaystyle 2n^{2))$ 个根。通常取单根为 ${\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)}$ 及 ${\displaystyle \alpha _{n}:=e_{n))$（短根）。

对短根 ${\displaystyle \alpha _{n))$ 的反射即 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},\ldots ,-x_{n})}$。

${\displaystyle B_{1))$ 跟 ${\displaystyle A_{1))$ 仅差一个缩放，因此通常仅考虑 ${\displaystyle n\geq 2}$ 的情形。${\displaystyle B_{n))$ 是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {so))(2n+1,\mathbb {C} )}$ 的根系。

取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n))$，${\displaystyle \Phi }$ 为 ${\displaystyle V}$ 中所有长度 ${\displaystyle {\sqrt {2))}$ 的格子点与形如 ${\displaystyle 2\lambda }$的点，其中 ${\displaystyle \lambda }$ 是长度为一的格子点。共有 ${\displaystyle 2n^{2))$ 个根。通常取单根为 ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)}$及 ${\displaystyle \alpha _{n}:=2e_{n))$（长根）。

${\displaystyle C_{2))$ 与 ${\displaystyle B_{2))$ 仅差一个缩放加上旋转 45 度，因此通常仅考虑 ${\displaystyle n\geq 3}$ 的情形。${\displaystyle C_{n))$ 是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {sp))(2n,\mathbb {C} )}$ 的根系。

取 ${\displaystyle V:=\mathbb {R} ^{n))$，${\displaystyle \Phi }$ 为 ${\displaystyle V}$ 中长度 ${\displaystyle {\sqrt {2))}$ 的格子点。共有 ${\displaystyle 2n(n-1)}$ 个根。通常取单根为 ${\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1},\;(1\leq i<n)}$ 及 ${\displaystyle \alpha _{n}=e_{n}+e_{n-1))$。

${\displaystyle D_{3))$ 同构于 ${\displaystyle A_{3))$，故通常仅考虑 ${\displaystyle n\geq 4}$ 的情形。${\displaystyle D_{n))$ 是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {so))(2n,\mathbb {C} )}$ 的根系。

${\displaystyle E_{8))$ 是较为特殊的根系。首先定义 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8))$ 中满足下述条件的点集 ${\displaystyle \Gamma _{8))$：

• 各座标均为整数，或均为半整数（不容相混）。
• 八个座标的和为偶数。

定义 ${\displaystyle E_{8))$ 为 ${\displaystyle \Gamma _{8))$ 中长度为 ${\displaystyle {\sqrt {2))}$ 的向量，即：

${\displaystyle \left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\sqcup \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2))\right)^{8}:|\alpha |^{2}=2,\;\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} \right\))$

定义 ${\displaystyle E_{7))$ 为 ${\displaystyle E_{8))$ 与超平面 ${\displaystyle \{x:(x,\alpha )=0\))$ 之交， 其中 ${\displaystyle \alpha \in E_{8))$ 是任取的根。同样步骤施于 ${\displaystyle E_{7))$，得到更小的根系 ${\displaystyle E_{6))$。根系 ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8))$ 分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤，则会得到典型根系 ${\displaystyle D_{5},A_{4))$。

另一种等价的描述是取 ${\displaystyle \Gamma '_{8))$ 为：

• 各坐标均为整数，而且其和为偶数；或
• 各坐标均为半整数，而且其和为奇数。

${\displaystyle \Gamma _{8))$ 与 ${\displaystyle \Gamma '_{8))$ 同构。将任意偶数个座标乘以负一，便可在两者间转换。${\displaystyle \Gamma _{8))$ 称为 ${\displaystyle E_{8))$ 的偶坐标系，${\displaystyle \Gamma '_{8))$ 称为奇坐标系。

在偶坐标下，通常取单根为

${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 6)}$

${\displaystyle \alpha _{7}:=e_{7}+e_{6))$

${\displaystyle \alpha _{8}=\beta _{0}={\frac {\sum _{i=1}^{8}e_{i)){2))}$

在奇坐标下，通常取单根为

${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 7)}$

${\displaystyle \alpha _{8}:=\beta _{5))$，其中

${\displaystyle \beta _{j}:={\frac {-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i)){2))}$

（在上述定义中，若改取 ${\displaystyle \beta _{3))$，将得到同构的结果。若改取 ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{7},\beta _{2},\beta _{6))$，将得到 ${\displaystyle A_{8))$ 或 ${\displaystyle D_{8))$。至于 ${\displaystyle \beta _{4))$，其坐标和为零，而 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{7))$ 亦然，所以张出的向量空间维度不合所求。

删去 ${\displaystyle \alpha _{1))$ 可得到 ${\displaystyle E_{7))$ 的一组单根；再删去 ${\displaystyle \alpha _{2))$，可得 ${\displaystyle E_{6))$ 的单根。

由于对 ${\displaystyle \alpha _{1))$ 垂直等价于前两个坐标相等，而对 ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2))$ 垂直等价于前三个座标相等，不难导出 ${\displaystyle E_{7},E_{6))$ 的明确定义：

E₇ = (α ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷: ∑α_i² + α₁² = 2，∑α_i + α₁ ∈ 2Z),

E₆ = (α ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶: ∑α_i² + 2α₁² = 2，∑α_i + 2α₁ ∈ 2Z)

对于 ${\displaystyle F_{4))$，取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{4))$，并令 ${\displaystyle \Phi }$ 为满足下述条件的向量：

• ${\displaystyle |\alpha |=1,{\sqrt {2))}$
• ${\displaystyle 2\alpha }$ 各坐标皆为奇数或皆为偶数。

此根系有 ${\displaystyle 48}$ 个根。通常取单根为 ${\displaystyle B_{3))$ 的单根再加上 ${\displaystyle \alpha _{4}=-\left(\sum _{i=1}^{4}e_{i}\right)/2}$。

${\displaystyle G_{2))$ 有 12 个根，构成一个六边形的顶点，详如秩二的例子一节所示。通常取单根为

• ${\displaystyle \alpha _{1))$
• ${\displaystyle \beta :=\alpha _{2}-\alpha _{1))$

在此沿用了之前的符号： ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1},\;(i=1,2)}$。

不可约根系的分类可用于研究下述对象：

• 单复李代数
• 单复李群
• 模掉中心后为单李群的单连通复李群
• 紧单李群

• ADE分类
• 外尔群
• 考克斯特群
• 考克斯特矩阵
• 根资料
• 考克斯特-邓肯图