素数是纽曼-尚克斯-威廉士素数（Newman-Shanks-Williams prime，简写为NSW素数）当且仅当它能写成以下的形式：

${\displaystyle S_{2m+1}={\frac {(1+{\sqrt {2)))^{2m+1}+(1-{\sqrt {2)))^{2m+1)){2))}$

1981年M. Newman、D. Shanks和H. C. Williams在研究有限集合时，率先描述了NSW素数。

首几个NSW素数为7, 41, 239, 9369319, 63018038201, ...（OEIS:A088165），对应指数3, 5, 7, 19, 29, ... （OEIS:A005850）

上式中的${\displaystyle S}$可用递归的方法定义，虽然得出来的未必是素数：

${\displaystyle S_{0}=1}$

${\displaystyle S_{1}=1}$

${\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2))$对于所有${\displaystyle n\geq 2}$

这个数列的首几项为1, 1, 3, 7, 17, 41, 99（OEIS:A001333）。这些数亦出现在以连分数表示的${\displaystyle {\sqrt {2))}$。

进阶参阅

• M. Newman, D. Shanks and H. C. Williams, Simple groups of square order and an interesting sequence of primes, Acta. Arith., 38:2 (1980/81) 129-140.