正四十六角形 四十六角形 (よんじゅうろくかくけい、よんじゅうろっかっけい、tetracontahexagon)は、多角形 の一つで、46本の辺 と46個の頂点 を持つ図形である。内角の和 は7920°、対角線 の本数は989本である。
正四十六角形においては、中心角と外角は7.826…°で、内角は172.173…°となる。一辺の長さが a の正四十六角形の面積 S は
S
=
46
4
a
2
cot
π
46
≃
168.12405
a
2
{\displaystyle S={\frac {46}{4))a^{2}\cot {\frac {\pi }{46))\simeq 168.12405a^{2))
cos
(
2
π
/
46
)
{\displaystyle \cos(2\pi /46)}
の値は、11次方程式を解くことにより冪根 で表現される[1] 。
z
11
=
1
{\displaystyle z^{11}=1}
の複素数解の一つ
e
2
π
11
i
{\displaystyle e^((\frac {2\pi }{11))i))
をσとおいて、10次多項式にσを代入した値の11乗根を10個(
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
,
λ
4
,
λ
5
,
λ
6
,
λ
7
,
λ
8
,
λ
9
,
λ
10
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4},\lambda _{5},\lambda _{6},\lambda _{7},\lambda _{8},\lambda _{9},\lambda _{10))
)用いて表される。
cos
2
π
46
=
cos
π
23
=
cos
(
π
−
22
π
23
)
=
−
cos
22
π
23
=
−
λ
1
σ
2
+
λ
2
σ
4
+
λ
3
σ
6
+
λ
4
σ
8
+
λ
5
σ
10
+
λ
6
σ
+
λ
7
σ
3
+
λ
8
σ
5
+
λ
9
σ
7
+
λ
10
σ
9
−
1
22
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{46))=&\cos {\frac {\pi }{23))=\cos \left(\pi -{\frac {22\pi }{23))\right)=-\cos {\frac {22\pi }{23))\\=&-{\frac {\lambda _{1}\sigma ^{2}+\lambda _{2}\sigma ^{4}+\lambda _{3}\sigma ^{6}+\lambda _{4}\sigma ^{8}+\lambda _{5}\sigma ^{10}+\lambda _{6}\sigma +\lambda _{7}\sigma ^{3}+\lambda _{8}\sigma ^{5}+\lambda _{9}\sigma ^{7}+\lambda _{10}\sigma ^{9}-1}{22))\end{aligned))}
λ
1
=
23
(
384812
+
188298
σ
−
625515
σ
2
−
78859
σ
3
+
740707
σ
4
+
84370
σ
5
+
834405
σ
6
+
98208
σ
7
+
361900
σ
8
−
56177
σ
9
)
11
{\displaystyle \lambda _{1}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma -625515\sigma ^{2}-78859\sigma ^{3}+740707\sigma ^{4}+84370\sigma ^{5}+834405\sigma ^{6}+98208\sigma ^{7}+361900\sigma ^{8}-56177\sigma ^{9})))}
λ
2
=
23
(
384812
+
188298
σ
2
−
625515
σ
4
−
78859
σ
6
+
740707
σ
8
+
84370
σ
10
+
834405
σ
+
98208
σ
3
+
361900
σ
5
−
56177
σ
7
)
11
{\displaystyle \lambda _{2}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{2}-625515\sigma ^{4}-78859\sigma ^{6}+740707\sigma ^{8}+84370\sigma ^{10}+834405\sigma +98208\sigma ^{3}+361900\sigma ^{5}-56177\sigma ^{7})))}
λ
3
=
23
(
384812
+
188298
σ
3
−
625515
σ
6
−
78859
σ
9
+
740707
σ
+
84370
σ
4
+
834405
σ
7
+
98208
σ
10
+
361900
σ
2
−
56177
σ
5
)
11
{\displaystyle \lambda _{3}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{3}-625515\sigma ^{6}-78859\sigma ^{9}+740707\sigma +84370\sigma ^{4}+834405\sigma ^{7}+98208\sigma ^{10}+361900\sigma ^{2}-56177\sigma ^{5})))}
λ
4
=
23
(
384812
+
188298
σ
4
−
625515
σ
8
−
78859
σ
+
740707
σ
5
+
84370
σ
9
+
834405
σ
2
+
98208
σ
6
+
361900
σ
10
−
56177
σ
3
)
11
{\displaystyle \lambda _{4}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{4}-625515\sigma ^{8}-78859\sigma +740707\sigma ^{5}+84370\sigma ^{9}+834405\sigma ^{2}+98208\sigma ^{6}+361900\sigma ^{10}-56177\sigma ^{3})))}
λ
5
=
23
(
384812
+
188298
σ
5
−
625515
σ
10
−
78859
σ
4
+
740707
σ
9
+
84370
σ
3
+
834405
σ
8
+
98208
σ
2
+
361900
σ
7
−
56177
σ
)
11
{\displaystyle \lambda _{5}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{5}-625515\sigma ^{10}-78859\sigma ^{4}+740707\sigma ^{9}+84370\sigma ^{3}+834405\sigma ^{8}+98208\sigma ^{2}+361900\sigma ^{7}-56177\sigma )))}
λ
6
=
23
(
384812
+
188298
σ
6
−
625515
σ
−
78859
σ
7
+
740707
σ
2
+
84370
σ
8
+
834405
σ
3
+
98208
σ
9
+
361900
σ
4
−
56177
σ
10
)
11
{\displaystyle \lambda _{6}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{6}-625515\sigma -78859\sigma ^{7}+740707\sigma ^{2}+84370\sigma ^{8}+834405\sigma ^{3}+98208\sigma ^{9}+361900\sigma ^{4}-56177\sigma ^{10})))}
λ
7
=
23
(
384812
+
188298
σ
7
−
625515
σ
3
−
78859
σ
10
+
740707
σ
6
+
84370
σ
2
+
834405
σ
9
+
98208
σ
5
+
361900
σ
−
56177
σ
8
)
11
{\displaystyle \lambda _{7}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{7}-625515\sigma ^{3}-78859\sigma ^{10}+740707\sigma ^{6}+84370\sigma ^{2}+834405\sigma ^{9}+98208\sigma ^{5}+361900\sigma -56177\sigma ^{8})))}
λ
8
=
23
(
384812
+
188298
σ
8
−
625515
σ
5
−
78859
σ
2
+
740707
σ
10
+
84370
σ
7
+
834405
σ
4
+
98208
σ
+
361900
σ
9
−
56177
σ
6
)
11
{\displaystyle \lambda _{8}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{8}-625515\sigma ^{5}-78859\sigma ^{2}+740707\sigma ^{10}+84370\sigma ^{7}+834405\sigma ^{4}+98208\sigma +361900\sigma ^{9}-56177\sigma ^{6})))}
λ
9
=
23
(
384812
+
188298
σ
9
−
625515
σ
7
−
78859
σ
5
+
740707
σ
3
+
84370
σ
+
834405
σ
10
+
98208
σ
8
+
361900
σ
6
−
56177
σ
4
)
11
{\displaystyle \lambda _{9}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{9}-625515\sigma ^{7}-78859\sigma ^{5}+740707\sigma ^{3}+84370\sigma +834405\sigma ^{10}+98208\sigma ^{8}+361900\sigma ^{6}-56177\sigma ^{4})))}
λ
10
=
23
(
384812
+
188298
σ
10
−
625515
σ
9
−
78859
σ
8
+
740707
σ
7
+
84370
σ
6
+
834405
σ
5
+
98208
σ
4
+
361900
σ
3
−
56177
σ
2
)
11
{\displaystyle \lambda _{10}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{10}-625515\sigma ^{9}-78859\sigma ^{8}+740707\sigma ^{7}+84370\sigma ^{6}+834405\sigma ^{5}+98208\sigma ^{4}+361900\sigma ^{3}-56177\sigma ^{2})))}
正四十六角形は定規 とコンパス による作図 が不可能な図形である。
正四十六角形は折紙 により作図が不可能な図形である。
非古典的 (2辺以下) 辺の数: 3–10
辺の数: 11–20 辺の数: 21–30 辺の数: 31–40 辺の数: 41–50 辺の数: 51–70 (selected) 辺の数: 71–100 (selected) 辺の数: 101– (selected) 無限 星型多角形 (辺の数: 5–12)多角形のクラス