十三角形（じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon）は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。

正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {13}{4))a^{2}\cot {\frac {\pi }{13))\simeq 13.1858\,a^{2))$

となる。

${\displaystyle \cos(2\pi /13)}$を平方根と立方根で表すと^[1]、

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13))={\frac {-1+{\sqrt {13))}{12))+{\frac {1}{6)){\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13))+3i{\sqrt {39))}{2))}+{\frac {1}{6)){\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13))-3i{\sqrt {39))}{2))}=0.8854560...}$

Trigonometric constants expressed in real radicalsより

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13))={\frac ((\sqrt {13))-1+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13))-12i{\sqrt {39))))+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13))+12i{\sqrt {39))))}{12))}$

また、以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{13))+2\cos {\frac {10\pi }{13))={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3))i))\omega +{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3))i))\omega ^{2)){6))={\frac {1}{3))\left(-1+{\sqrt {13))\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3))i}{2{\sqrt {13))))}\omega +{\sqrt {13))\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3))i}{2{\sqrt {13))))}\omega ^{2}\right)}$

${\displaystyle 2\cos {\frac {4\pi }{13))+2\cos {\frac {6\pi }{13))={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3))i))+{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3))i))}{6))={\frac {1}{3))\left(-1+{\sqrt {13))\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3))i}{2{\sqrt {13))))}+{\sqrt {13))\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3))i}{2{\sqrt {13))))}\right)}$

${\displaystyle 2\cos {\frac {8\pi }{13))+2\cos {\frac {12\pi }{13))={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3))i))\omega ^{2}+{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3))i))\omega }{6))={\frac {1}{3))\left(-1+{\sqrt {13))\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3))i}{2{\sqrt {13))))}\omega ^{2}+{\sqrt {13))\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3))i}{2{\sqrt {13))))}\omega \right)}$

正十三角形はコンパスと定規による作図が不可能な図形である。

正十三角形は折紙により作図可能である^[2]。

チェコの20コルナ硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。

ウィキメディア・コモンズには、十三角形に関連するカテゴリがあります。

ポータル 数学

• Weisstein, Eric W. "Tridecagon". mathworld.wolfram.com (英語).