正二十九角形 二十九角形 (にじゅうきゅうかくけい、にじゅうきゅうかっけい、icosienneagon)は、多角形 の一つで、29本の辺 と29個の頂点 を持つ図形である。内角の和 は4860°、対角線 の本数は377本である。
正二十九角形においては、中心角と外角は12.413…°で、内角は167.586…°となる。一辺の長さが a の正二十九角形の面積 S は
S
=
29
4
a
2
cot
π
29
≃
66.66265
a
2
{\displaystyle S={\frac {29}{4))a^{2}\cot {\frac {\pi }{29))\simeq 66.66265a^{2))
cos
(
2
π
/
29
)
{\displaystyle \cos(2\pi /29)}
の値は、七次方程式、二次方程式を解くことにより冪根 で表現される[1] 。
z
7
=
1
{\displaystyle z^{7}=1}
の複素数解を
σ
,
σ
2
,
σ
3
,
σ
4
,
σ
5
,
σ
6
{\displaystyle \sigma ,\sigma ^{2},\sigma ^{3},\sigma ^{4},\sigma ^{5},\sigma ^{6))
として
cos
2
π
29
=
λ
1
+
λ
1
2
−
4
λ
5
4
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{29))={\frac {\lambda _{1}+{\sqrt {\lambda _{1}^{2}-4\lambda _{5)))){4))}
ここで
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
,
λ
4
,
λ
5
,
λ
6
,
λ
7
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4},\lambda _{5},\lambda _{6},\lambda _{7))
は
λ
1
=
−
1
+
u
1
+
u
2
+
u
3
+
u
4
+
u
5
+
u
6
7
λ
2
=
−
1
+
u
1
σ
6
+
u
2
σ
5
+
u
3
σ
4
+
u
4
σ
3
+
u
5
σ
2
+
u
6
σ
7
λ
3
=
−
1
+
u
1
σ
5
+
u
2
σ
3
+
u
3
σ
+
u
4
σ
6
+
u
5
σ
4
+
u
6
σ
2
7
λ
4
=
−
1
+
u
1
σ
4
+
u
2
σ
+
u
3
σ
5
+
u
4
σ
2
+
u
5
σ
6
+
u
6
σ
3
7
λ
5
=
−
1
+
u
1
σ
3
+
u
2
σ
6
+
u
3
σ
2
+
u
4
σ
5
+
u
5
σ
+
u
6
σ
4
7
λ
6
=
−
1
+
u
1
σ
2
+
u
2
σ
4
+
u
3
σ
6
+
u
4
σ
+
u
5
σ
3
+
u
6
σ
5
7
λ
7
=
−
1
+
u
1
σ
+
u
2
σ
2
+
u
3
σ
3
+
u
4
σ
4
+
u
5
σ
5
+
u
6
σ
6
7
{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\frac {-1+u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6)){7))\,\\&\lambda _{2}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{6}+u_{2}\sigma ^{5}+u_{3}\sigma ^{4}+u_{4}\sigma ^{3}+u_{5}\sigma ^{2}+u_{6}\sigma }{7))\,\\&\lambda _{3}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{5}+u_{2}\sigma ^{3}+u_{3}\sigma +u_{4}\sigma ^{6}+u_{5}\sigma ^{4}+u_{6}\sigma ^{2)){7))\,\\&\lambda _{4}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{4}+u_{2}\sigma +u_{3}\sigma ^{5}+u_{4}\sigma ^{2}+u_{5}\sigma ^{6}+u_{6}\sigma ^{3)){7))\,\\&\lambda _{5}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{3}+u_{2}\sigma ^{6}+u_{3}\sigma ^{2}+u_{4}\sigma ^{5}+u_{5}\sigma +u_{6}\sigma ^{4)){7))\,\\&\lambda _{6}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{2}+u_{2}\sigma ^{4}+u_{3}\sigma ^{6}+u_{4}\sigma +u_{5}\sigma ^{3}+u_{6}\sigma ^{5)){7))\,\\&\lambda _{7}={\frac {-1+u_{1}\sigma +u_{2}\sigma ^{2}+u_{3}\sigma ^{3}+u_{4}\sigma ^{4}+u_{5}\sigma ^{5}+u_{6}\sigma ^{6)){7))\,\\\end{aligned))}
ここで
u
1
,
u
2
,
u
3
,
u
4
,
u
5
,
u
6
{\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5},u_{6))
は
u
1
=
29
(
3578
σ
6
+
666
σ
5
+
2717
σ
4
+
3764
σ
3
−
34
σ
2
+
288
σ
)
7
u
2
=
29
(
3578
σ
5
+
666
σ
3
+
2717
σ
+
3764
σ
6
−
34
σ
4
+
288
σ
2
)
7
u
3
=
29
(
3578
σ
4
+
666
σ
+
2717
σ
5
+
3764
σ
2
−
34
σ
6
+
288
σ
3
)
7
u
4
=
29
(
3578
σ
3
+
666
σ
6
+
2717
σ
2
+
3764
σ
5
−
34
σ
+
288
σ
4
)
7
u
5
=
29
(
3578
σ
2
+
666
σ
4
+
2717
σ
6
+
3764
σ
−
34
σ
3
+
288
σ
5
)
7
u
6
=
29
(
3578
σ
+
666
σ
2
+
2717
σ
3
+
3764
σ
4
−
34
σ
5
+
288
σ
6
)
7
{\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{6}+666\sigma ^{5}+2717\sigma ^{4}+3764\sigma ^{3}-34\sigma ^{2}+288\sigma )))\,\\&u_{2}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{5}+666\sigma ^{3}+2717\sigma +3764\sigma ^{6}-34\sigma ^{4}+288\sigma ^{2})))\,\\&u_{3}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{4}+666\sigma +2717\sigma ^{5}+3764\sigma ^{2}-34\sigma ^{6}+288\sigma ^{3})))\,\\&u_{4}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{3}+666\sigma ^{6}+2717\sigma ^{2}+3764\sigma ^{5}-34\sigma +288\sigma ^{4})))\,\\&u_{5}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{2}+666\sigma ^{4}+2717\sigma ^{6}+3764\sigma -34\sigma ^{3}+288\sigma ^{5})))\,\\&u_{6}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma +666\sigma ^{2}+2717\sigma ^{3}+3764\sigma ^{4}-34\sigma ^{5}+288\sigma ^{6})))\,\\\end{aligned))}
正二十九角形は定規 とコンパス による作図 が不可能な図形である。
正二十九角形は折紙 により作図が不可能な図形である。
非古典的 (2辺以下) 辺の数: 3–10
辺の数: 11–20 辺の数: 21–30 辺の数: 31–40 辺の数: 41–50 辺の数: 51–70 (selected) 辺の数: 71–100 (selected) 辺の数: 101– (selected) 無限 星型多角形 (辺の数: 5–12)多角形のクラス