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十九角形 .
正十九角形 十九角形 （じゅうきゅうかくけい、じゅうきゅうかっけい、Enneadecagon 、enneakaidecagon や nonadecagon とも）は、多角形 の一つで、19本の辺 と19個の頂点 を持つ図形 である。内角 の和 は3060°で、対角線 の本数は152本である。
正十九角形においては、中心角 と外角 は18.947…°で、内角は161.052…°となる。一辺の長さが a の正十九角形の面積 S は
S
=
19
4
a
2
cot
π
19
≃
28.4652
a
2
{\displaystyle S={\frac {19}{4))a^{2}\cot {\frac {\pi }{19))\simeq 28.4652a^{2))
で、外接円の半径 R は
R
=
a
2
csc
π
19
≃
3.037767
a
{\displaystyle R={\frac {a}{2))\csc {\frac {\pi }{19))\simeq 3.037767a}
で与えられる。
cos
(
2
π
/
19
)
{\displaystyle \cos(2\pi /19)}
三次方程式 を2回解く必要である。
以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す[1]
2
cos
2
π
19
+
2
cos
16
π
19
+
2
cos
14
π
19
=
−
1
+
ω
2
133
+
57
3
i
2
3
+
ω
133
−
57
3
i
2
3
3
=
α
2
cos
4
π
19
+
2
cos
6
π
19
+
2
cos
10
π
19
=
−
1
+
133
+
57
3
i
2
3
+
133
−
57
3
i
2
3
3
=
β
2
cos
8
π
19
+
2
cos
18
π
19
+
2
cos
12
π
19
=
−
1
+
ω
133
+
57
3
i
2
3
+
ω
2
133
−
57
3
i
2
3
3
=
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19))+2\cos {\frac {16\pi }{19))+2\cos {\frac {14\pi }{19))=&{\frac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))=\alpha \\2\cos {\frac {4\pi }{19))+2\cos {\frac {6\pi }{19))+2\cos {\frac {10\pi }{19))=&{\frac {-1+{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))=\beta \\2\cos {\frac {8\pi }{19))+2\cos {\frac {18\pi }{19))+2\cos {\frac {12\pi }{19))=&{\frac {-1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))=\gamma \\\end{aligned))}
さらに、以下のような関係式が得られる。
(
2
cos
2
π
19
+
ω
⋅
2
cos
16
π
19
+
ω
2
⋅
2
cos
14
π
19
)
3
=
3
α
+
7
β
+
12
−
6
ω
(
β
+
1
)
+
3
ω
2
(
α
−
1
)
(
2
cos
2
π
19
+
ω
2
⋅
2
cos
16
π
19
+
ω
⋅
2
cos
14
π
19
)
3
=
3
α
+
7
β
+
12
−
6
ω
2
(
β
+
1
)
+
3
ω
(
α
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19))+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19))\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19))+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19))\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)\\\end{aligned))}
両辺の立方根を取ると
2
cos
2
π
19
+
ω
⋅
2
cos
16
π
19
+
ω
2
⋅
2
cos
14
π
19
=
3
α
+
7
β
+
12
−
6
ω
(
β
+
1
)
+
3
ω
2
(
α
−
1
)
3
2
cos
2
π
19
+
ω
2
⋅
2
cos
16
π
19
+
ω
⋅
2
cos
14
π
19
=
3
α
+
7
β
+
12
−
6
ω
2
(
β
+
1
)
+
3
ω
(
α
−
1
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19))+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19))=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)))\\2\cos {\frac {2\pi }{19))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19))+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19))=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)))\\\end{aligned))}
よって
6
cos
2
π
19
=
α
+
3
α
+
7
β
+
12
−
6
ω
(
β
+
1
)
+
3
ω
2
(
α
−
1
)
3
+
3
α
+
7
β
+
12
−
6
ω
2
(
β
+
1
)
+
3
ω
(
α
−
1
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{19))=&\alpha +{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)))+{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)))\\\end{aligned))}
整理すると
cos
2
π
19
=
1
6
(
−
1
+
ω
2
133
+
57
3
i
2
3
+
ω
133
−
57
3
i
2
3
3
+
38
+
(
10
+
6
ω
2
)
133
+
57
3
i
2
3
+
(
10
−
3
ω
)
133
−
57
3
i
2
3
3
3
+
38
+
(
10
−
3
ω
2
)
133
+
57
3
i
2
3
+
(
10
+
6
ω
)
133
−
57
3
i
2
3
3
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{19))=&{\frac {1}{6))\left({\tfrac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))+{\sqrt[{3}]{\tfrac {38+(10+6\omega ^{2}){\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+(10-3\omega ){\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {38+(10-3\omega ^{2}){\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+(10+6\omega ){\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))}\right)\\\end{aligned))}
正十九角形は定規 とコンパス による作図 が不可能な図形である。
正十九角形は折紙 により作図可能である。
ウィキメディア・コモンズには、
十九角形 に関連するカテゴリがあります。
非古典的 (2辺以下) 辺の数: 3–10
辺の数: 11–20 辺の数: 21–30 辺の数: 31–40 辺の数: 41–50 辺の数: 51–70 辺の数: 71–100 辺の数: 101– 無限 星型多角形 多角形のクラス
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![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19))+2\cos {\frac {16\pi }{19))+2\cos {\frac {14\pi }{19))=&{\frac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))=\alpha \\2\cos {\frac {4\pi }{19))+2\cos {\frac {6\pi }{19))+2\cos {\frac {10\pi }{19))=&{\frac {-1+{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))=\beta \\2\cos {\frac {8\pi }{19))+2\cos {\frac {18\pi }{19))+2\cos {\frac {12\pi }{19))=&{\frac {-1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))=\gamma \\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edec14ba0ca7211cbb225cce8de9517014da3c5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19))+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19))=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)))\\2\cos {\frac {2\pi }{19))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19))+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19))=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)))\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6999b6485e4b0a0481d1791cbd1778127268071c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{19))=&\alpha +{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)))+{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)))\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b5e51285e43fae1f191494c2615a6c50e276be)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{19))=&{\frac {1}{6))\left({\tfrac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))+{\sqrt[{3}]{\tfrac {38+(10+6\omega ^{2}){\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+(10-3\omega ){\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {38+(10-3\omega ^{2}){\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3))i}{2))}+(10+6\omega ){\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))}\right)\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e9a15e0e63aa39202a0730d9ba92a53c47a021)
