正三十八角形 三十八角形 （さんじゅうはちかくけい、さんじゅうはちかっけい、triacontaoctagon）は、多角形 の一つで、38本の辺 と38個の頂点 を持つ図形である。内角の和 は6480°、対角線 の本数は665本である。
正三十八角形においては、中心角と外角は9.473…°で、内角は170.526…°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は
S
=
38
4
a
2
cot
π
38
≃
114.64795
a
2
{\displaystyle S={\frac {38}{4))a^{2}\cot {\frac {\pi }{38))\simeq 114.64795a^{2))
cos
(
2
π
/
38
)
{\displaystyle \cos(2\pi /38)}
正十九角形 も参照。
以下ように
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3))
x
1
=
2
cos
2
π
38
+
2
cos
22
π
38
+
2
cos
14
π
38
=
1
+
−
133
+
57
3
i
2
3
+
−
133
−
57
3
i
2
3
3
x
2
=
2
cos
6
π
38
+
2
cos
10
π
38
+
2
cos
34
π
38
=
1
+
ω
2
−
133
+
57
3
i
2
3
+
ω
−
133
−
57
3
i
2
3
3
x
3
=
2
cos
18
π
38
+
2
cos
30
π
38
+
2
cos
26
π
38
=
1
+
ω
−
133
+
57
3
i
2
3
+
ω
2
−
133
−
57
3
i
2
3
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{38))+2\cos {\frac {22\pi }{38))+2\cos {\frac {14\pi }{38))={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))\\&x_{2}=2\cos {\frac {6\pi }{38))+2\cos {\frac {10\pi }{38))+2\cos {\frac {34\pi }{38))={\frac {1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))\\&x_{3}=2\cos {\frac {18\pi }{38))+2\cos {\frac {30\pi }{38))+2\cos {\frac {26\pi }{38))={\frac {1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))\\\end{aligned))}
以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。
x
3
−
x
2
−
6
x
+
7
=
0
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-6x+7=0}
さらに、以下のような関係式が得られる。
(
2
cos
2
π
38
+
ω
⋅
2
cos
22
π
38
+
ω
2
⋅
2
cos
14
π
38
)
3
=
3
x
1
+
7
x
2
−
12
−
6
ω
(
x
2
−
1
)
+
3
ω
2
(
x
1
+
1
)
(
2
cos
2
π
38
+
ω
2
⋅
2
cos
22
π
38
+
ω
⋅
2
cos
14
π
38
)
3
=
3
x
1
+
7
x
2
−
12
−
6
ω
2
(
x
2
−
1
)
+
3
ω
(
x
1
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38))+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38))\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38))+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38))\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)\\\end{aligned))}
両辺の立方根を取ると
2
cos
2
π
38
+
ω
⋅
2
cos
22
π
38
+
ω
2
⋅
2
cos
14
π
38
=
3
x
1
+
7
x
2
−
12
−
6
ω
(
x
2
−
1
)
+
3
ω
2
(
x
1
+
1
)
3
2
cos
2
π
38
+
ω
2
⋅
2
cos
22
π
38
+
ω
⋅
2
cos
14
π
38
=
3
x
1
+
7
x
2
−
12
−
6
ω
2
(
x
2
−
1
)
+
3
ω
(
x
1
+
1
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{38))+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38))=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)))\\2\cos {\frac {2\pi }{38))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38))+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38))=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)))\\\end{aligned))}
よって
6
cos
2
π
38
=
x
1
+
3
x
1
+
7
x
2
−
12
−
6
ω
(
x
2
−
1
)
+
3
ω
2
(
x
1
+
1
)
3
+
3
x
1
+
7
x
2
−
12
−
6
ω
2
(
x
2
−
1
)
+
3
ω
(
x
1
+
1
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{38))=&x_{1}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)))+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)))\\\end{aligned))}
整理すると
cos
2
π
38
=
1
6
(
1
+
−
133
+
57
3
i
2
3
+
−
133
−
57
3
i
2
3
3
+
−
38
+
(
10
ω
2
−
3
)
−
133
+
57
3
i
2
3
+
(
10
ω
+
6
)
−
133
−
57
3
i
2
3
3
3
+
−
38
+
(
10
ω
2
+
6
)
−
133
+
57
3
i
2
3
+
(
10
ω
−
3
)
−
133
−
57
3
i
2
3
3
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{38))=&{\frac {1}{6))\left({\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}-3){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+(10\omega +6){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}+6){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+(10\omega -3){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))}\right)\\\end{aligned))}
正三十八角形は定規 とコンパス による作図 が不可能な図形である。
正三十八角形は折紙 により作図可能である。
非古典的 (2辺以下) 辺の数: 3–10
辺の数: 11–20 辺の数: 21–30 辺の数: 31–40 辺の数: 41–50 辺の数: 51–70 辺の数: 71–100 辺の数: 101– 無限 星型多角形 多角形のクラス
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{38))+2\cos {\frac {22\pi }{38))+2\cos {\frac {14\pi }{38))={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))\\&x_{2}=2\cos {\frac {6\pi }{38))+2\cos {\frac {10\pi }{38))+2\cos {\frac {34\pi }{38))={\frac {1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))\\&x_{3}=2\cos {\frac {18\pi }{38))+2\cos {\frac {30\pi }{38))+2\cos {\frac {26\pi }{38))={\frac {1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d0593b4340f42f34371c66a4a25c04445901a7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{38))+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38))=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)))\\2\cos {\frac {2\pi }{38))+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38))+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38))=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)))\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e4a1a421f886326c61106c6850add3644be92c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{38))=&x_{1}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)))+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)))\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01687af420f45ce5d3b65b7477db45b2a32895e8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{38))=&{\frac {1}{6))\left({\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}-3){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+(10\omega +6){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}+6){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3))i}{2))}+(10\omega -3){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3))i}{2)))){3))}\right)\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b724eb5be651f36cb93aa848fd594b7d6e493780)
