七十二角形（ななじゅうにかくけい、ななじゅうにかっけい、heptacontadigon）は、多角形の一つで、72本の辺と72個の頂点を持つ図形である。内角の和は12600°、対角線の本数は2484本である。

正七十二角形においては、中心角と外角は5°で、内角は175°となる。一辺の長さが a の正七十二角形の面積 S は

${\displaystyle S=18a^{2}\cot {\frac {\pi }{72))}$

${\displaystyle \sin(2\pi /72)}$を平方根と立方根で表すと、

${\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{72))={\frac {2-2{\sqrt {3))\mathrm {i} }{2{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {2))-{\sqrt {6)))))-2-{\sqrt {3))))-{\frac {(1+{\sqrt {3))\mathrm {i} ){\sqrt[{3}]{2({\sqrt {2))-{\sqrt {6)))))-2-{\sqrt {3))}{8))\,}$

関係式

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{72))+2\cos {\frac {50\pi }{72))+2\cos {\frac {46\pi }{72))=0\\2\cos {\frac {14\pi }{72))+2\cos {\frac {62\pi }{72))+2\cos {\frac {34\pi }{72))=0\\2\cos {\frac {10\pi }{72))+2\cos {\frac {38\pi }{72))+2\cos {\frac {58\pi }{72))=0\\2\cos {\frac {70\pi }{72))+2\cos {\frac {22\pi }{72))+2\cos {\frac {26\pi }{72))=0\\\end{aligned))}$

三次方程式の係数を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{72))\cdot 2\cos {\frac {50\pi }{72))+2\cos {\frac {50\pi }{72))\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{72))+2\cos {\frac {46\pi }{72))\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{72))=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{72))\cdot 2\cos {\frac {50\pi }{72))\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{72))=2\cos {\frac {2\pi }{24))\end{aligned))}$

解と係数の関係より

${\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{24))=0}$

三次方程式を解いて、整理すると${\displaystyle \cos(2\pi /72)}$が求められる。

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{72))=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{24))+i\sin {\frac {2\pi }{24))))+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{24))-i\sin {\frac {2\pi }{24))))\\4\cos {\frac {2\pi }{72))=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{24))+i8\sin {\frac {2\pi }{24))))+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{24))-i8\sin {\frac {2\pi }{24))))\\4\cos {\frac {2\pi }{72))=&{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {6))+{\sqrt {2)))+i\cdot 2({\sqrt {6))-{\sqrt {2)))))+{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {6))+{\sqrt {2)))-i\cdot 2({\sqrt {6))-{\sqrt {2)))))\\\end{aligned))}$

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{72))={\frac {1}{4)){\sqrt[{3}]{2({\sqrt {6))+{\sqrt {2)))+i\cdot 2({\sqrt {6))-{\sqrt {2)))))+{\frac {1}{4)){\sqrt[{3}]{2({\sqrt {6))+{\sqrt {2)))-i\cdot 2({\sqrt {6))-{\sqrt {2)))))}$

正七十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正七十二角形は折紙により作図可能である。

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