十一角形

十一角形（じゅういちかくけい、じゅういちかっけい、hendecagon）は、多角形の一つで、11本の辺と11個の頂点を持つ図形である。内角の和は1620°、対角線の本数は44本である。

正十一角形

正十一角形においては、中心角と外角は32.72…°で、内角は147.27…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十一角形の面積 S は

{\displaystyle S={\frac {11}{4))a^{2}\cot {\frac {\pi }{11))\simeq 9.36564\,a^{2))

となる。

$\cos(2\pi /11)$ の値は冪根を用いて以下となる^[1]。

{\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{11))=&-{\frac {1}{10))\\&+{\frac {-1+{\sqrt {5))+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5))))}{40))\left\lbrace {\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4))\left\lbrace 89+25{\sqrt {5))+\left(45{\sqrt {5-2{\sqrt {5))))-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\right)i\right\rbrace ))+{\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4))\left\lbrace 89-25{\sqrt {5))+\left(5{\sqrt {5-2{\sqrt {5))))+45{\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\right)i\right\rbrace ))\right\rbrace \\&+{\frac {-1+{\sqrt {5))-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5))))}{40))\left\lbrace {\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4))\left\lbrace 89+25{\sqrt {5))-\left(45{\sqrt {5-2{\sqrt {5))))-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\right)i\right\rbrace ))+{\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4))\left\lbrace 89-25{\sqrt {5))-\left(5{\sqrt {5-2{\sqrt {5))))+45{\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\right)i\right\rbrace ))\right\rbrace \\=&0.841253\dots \end{aligned))

正十一角形はコンパスと定規だけではもちろん、目盛り付き定規を用いても作図が不可能な図形である。折り紙による作図も不可能である。

正十一角形はネウシス作図^[2]や折り紙の多重折り^[3]であれば作図可能となり、当然、面積が最大の正十一角形は折れる。

2023年現在流通しているカナダ1ドル硬貨は正十一角形をデザインの中に含む（→w:Loonie）。

アメリカ合衆国にも正十一角形をデザインの中に含む1ドル硬貨があった（→w:Susan B. Anthony dollar）。

^ cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった(2/11,3/10追加) | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室
^ Benjamin, Elliot; Snyder, C. (2014). “On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Cambridge University Press) 156 (3): 409-424. doi:10.1017/S0305004113000753.
^ Lucero, J. C. (2018). “Construction of a regular hendecagon by two-fold origami”. Crux Mathematicorum 44: 207-213. https://cms.math.ca/crux/v44/n5/.

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