五十二角形（ごじゅうにかくけい、ごじゅうにかっけい、pentacontadigon）は、多角形の一つで、52本の辺と52個の頂点を持つ図形である。内角の和は9000°、対角線の本数は1274本である。

正五十二角形においては、中心角と外角は6.923076…°で、内角は173.076923…°となる。一辺の長さが a の正五十二角形の面積 S は

${\displaystyle S=13a^{2}\cot {\frac {\pi }{52))a^{2))$

関係式

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{52))+2\cos {\frac {18\pi }{52))+2\cos {\frac {46\pi }{52))={\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13))}{2))}\\&x_{2}=2\cos {\frac {10\pi }{52))+2\cos {\frac {14\pi }{52))+2\cos {\frac {22\pi }{52))={\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))}\\&x_{3}=2\cos {\frac {50\pi }{52))+2\cos {\frac {34\pi }{52))+2\cos {\frac {6\pi }{52))=-{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13))}{2))}\\&x_{4}=2\cos {\frac {42\pi }{52))+2\cos {\frac {38\pi }{52))+2\cos {\frac {30\pi }{52))=-{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))}\\\end{aligned))}$

三次方程式の係数を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{52))\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{52))+2\cos {\frac {18\pi }{52))\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{52))+2\cos {\frac {46\pi }{52))\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{52))\\&=2\cos {\frac {10\pi }{26))+2\cos {\frac {14\pi }{26))+2\cos {\frac {22\pi }{26))+2\cos {\frac {4\pi }{13))+2\cos {\frac {10\pi }{13))+2\cos {\frac {12\pi }{13))=-{\sqrt {13))\\&2\cos {\frac {2\pi }{52))\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{52))\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{52))=x_{4}\\\end{aligned))}$

解と係数の関係より

${\displaystyle u^{3}-x_{1}u^{2}-{\sqrt {13))u-x_{4}=0}$

変数変換

${\displaystyle u=v+x_{1}/3}$

整理すると

${\displaystyle v^{3}-{\frac {13+3{\sqrt {13))}{6))v-{\frac {(13+6{\sqrt {13)))x_{1}+27x_{4)){27))=0}$

三角関数、逆三角関数を用いた解は

${\displaystyle u_{1}={\frac {x_{1)){3))+{\frac {2}{3)){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))}\cos \left({\frac {1}{3))\arccos \left({\frac {(13+6{\sqrt {13)))x_{1}+27x_{4)){(13+3{\sqrt {13))){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))))}\right)\right)}$

${\displaystyle u_{1}={\frac {1}{3)){\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13))}{2))}+{\frac {2}{3)){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))}\cos \left({\frac {1}{3))\arccos \left({\frac {-5{\sqrt {13))}{26))\right)\right)}$

平方根、立方根で表すと

${\displaystyle u_{1}={\frac {1}{3)){\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13))}{2))}+{\frac {1}{3)){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))}{\sqrt[{3}]((\frac {-5{\sqrt {13))}{26))+i{\frac {3{\sqrt {39))}{26))))+{\frac {1}{3)){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))}{\sqrt[{3}]((\frac {-5{\sqrt {13))}{26))-i{\frac {3{\sqrt {39))}{26))))}$

${\displaystyle \cos(2\pi /52)}$を平方根と立方根で表すと

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{52))={\frac {1}{6)){\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13))}{2))}+{\frac {1}{6)){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))}{\sqrt[{3}]((\frac {-5{\sqrt {13))}{26))+i{\frac {3{\sqrt {39))}{26))))+{\frac {1}{6)){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13))}{2))}{\sqrt[{3}]((\frac {-5{\sqrt {13))}{26))-i{\frac {3{\sqrt {39))}{26))))}$

正五十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十二角形は折紙により作図可能である。

• 十三角形
• 二十六角形

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