正二十一角形 二十一角形 （にじゅういちかくけい、にじゅういちかっけい、icosihenagon）は、多角形 の一つで、21本の辺 と21個の頂点 を持つ図形である。内角の和 は3420°、対角線 の本数は189本である。
正二十一角形
正二十一角形においては、中心角と外角は17.142…°で、内角は162.857…°となる。一辺の長さが a の正二十一角形の面積 S は
S
=
21
4
a
2
cot
π
21
≃
34.83147
a
2
{\displaystyle S={\frac {21}{4))a^{2}\cot {\frac {\pi }{21))\simeq 34.83147a^{2))
cos
(
2
π
/
21
)
{\displaystyle \cos(2\pi /21)}
cos
2
π
21
=
cos
(
2
π
3
−
4
π
7
)
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21))=\cos \left({\frac {2\pi }{3))-{\frac {4\pi }{7))\right)}
Trigonometric constants expressed in real radicals より
cos
2
π
21
=
1
+
21
+
154
−
30
21
+
(
42
3
−
18
7
)
i
3
+
154
−
30
21
+
(
18
7
−
42
3
)
i
3
12
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21))={\frac {1+{\sqrt {21))+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21))+\left(42{\sqrt {3))-18{\sqrt {7))\right)i))+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21))+\left(18{\sqrt {7))-42{\sqrt {3))\right)i))}{12))}
Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から
2
cos
2
π
21
+
2
cos
4
π
21
+
2
cos
6
π
21
+
2
cos
8
π
21
+
2
cos
10
π
21
+
2
cos
12
π
21
+
2
cos
14
π
21
+
2
cos
16
π
21
+
2
cos
18
π
21
+
2
cos
20
π
21
=
−
1
{\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21))+2\cos {\frac {4\pi }{21))+2\cos {\frac {6\pi }{21))+2\cos {\frac {8\pi }{21))+2\cos {\frac {10\pi }{21))+2\cos {\frac {12\pi }{21))+2\cos {\frac {14\pi }{21))+2\cos {\frac {16\pi }{21))+2\cos {\frac {18\pi }{21))+2\cos {\frac {20\pi }{21))=-1}
ここで、以下の関係式を使って
2
cos
14
π
21
=
2
cos
2
π
3
=
−
1
2
cos
6
π
21
+
2
cos
12
π
21
+
2
cos
18
π
21
=
2
cos
2
π
7
+
2
cos
4
π
7
+
2
cos
6
π
7
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {14\pi }{21))=2\cos {\frac {2\pi }{3))=-1\,\\&2\cos {\frac {6\pi }{21))+2\cos {\frac {12\pi }{21))+2\cos {\frac {18\pi }{21))=2\cos {\frac {2\pi }{7))+2\cos {\frac {4\pi }{7))+2\cos {\frac {6\pi }{7))=-1\\\end{aligned))}
整理すると
2
cos
2
π
21
+
2
cos
4
π
21
+
2
cos
8
π
21
+
2
cos
10
π
21
+
2
cos
16
π
21
+
2
cos
20
π
21
=
1
{\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21))+2\cos {\frac {4\pi }{21))+2\cos {\frac {8\pi }{21))+2\cos {\frac {10\pi }{21))+2\cos {\frac {16\pi }{21))+2\cos {\frac {20\pi }{21))=1}
以下のように定義すると
α
=
2
cos
2
π
21
+
2
cos
8
π
21
+
2
cos
10
π
21
β
=
2
cos
4
π
21
+
2
cos
16
π
21
+
2
cos
20
π
21
{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{21))+2\cos {\frac {8\pi }{21))+2\cos {\frac {10\pi }{21))\\&\beta =2\cos {\frac {4\pi }{21))+2\cos {\frac {16\pi }{21))+2\cos {\frac {20\pi }{21))\end{aligned))}
以下の値が求められる。
α
+
β
=
1
(
α
−
β
)
2
=
21
α
−
β
=
21
{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=21\\&\alpha -\beta ={\sqrt {21))\\\end{aligned))}
解と係数の関係 を求め、三次方程式 を解くことにより
cos
(
2
π
/
21
)
{\displaystyle \cos(2\pi /21)}
正二十一角形の作図
正二十一角形は定規 とコンパス による作図 が不可能な図形である。
正二十一角形は折紙 により作図可能である。
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21))={\frac {1+{\sqrt {21))+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21))+\left(42{\sqrt {3))-18{\sqrt {7))\right)i))+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21))+\left(18{\sqrt {7))-42{\sqrt {3))\right)i))}{12))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e27c190e7930276fb50d458e2f417c85144180)
