卡方分布

概率密度函數
累積分布函數
参数	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{\star }~~}$ 自由度
值域	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$，
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2))\Gamma \left({\frac {k}{2))\right)))\;x^((\frac {k}{2))-1}e^{-{\frac {x}{2))}\,}$
累積分布函數	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2))\right)))\;\gamma \left({\frac {k}{2)),\,{\frac {x}{2))\right)}$
期望值	${\displaystyle k}$
中位數	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k)){\bigg )}^{3))$
眾數	max{ k − 2, 0 }
方差	${\displaystyle 2k}$
偏度	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k))\,}$
峰度	${\displaystyle 12/k}$
熵	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2))&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned))}$
矩生成函数	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2))$，${\displaystyle 2\,t<1}$
特徵函数	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2))$[1]

卡方分布（英語：chi-square distribution^[2], χ²-distribution，或寫作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一，例如假說檢定和置信区间的计算。

由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于：

1. 樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）；
2. 同一母體的兩個随机变量是否独立（例如人的身高與交通違規的關聯性）；
3. 二或多個母體同一屬性的同質性檢定（義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見皮爾森卡方檢定）

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1))$、……、${\displaystyle Z_{k))$是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2))$

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

${\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}$

${\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2))$

可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。

卡方分布的概率密度函数为：

${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2))\Gamma ({\frac {k}{2)))))x^((\frac {k}{2))-1}e^{\frac {-x}{2))}$

其中${\displaystyle x\geq 0}$，当${\displaystyle x\leq 0}$时${\displaystyle f_{k}(x)=0}$。这里Γ代表Gamma函数。

卡方分布的累积分布函数为：

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2)),{\frac {x}{2)){\Bigr ))){\Gamma ({\frac {k}{2)))))}$，

其中γ(k,z)为不完全Γ函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2))+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2))\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2))\right)\psi (k/2)}$

其中${\displaystyle \psi (x)}$是雙伽瑪函數。

當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。 即：

${\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2)),\lambda ={\frac {1}{2))\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ))={\frac {\frac {U}{2)){\frac {1}{2))}=U}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2))}={\frac {\frac {U}{2)){\left({\frac {1}{2))\right)^{2))}=2U}$

卡方變數之期望值＝自由度 卡方變數之方差＝两倍自由度

由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n))$分别独立服从自由度为${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots k_{n))$的卡方分布，那么它们的和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i))$服从自由度为${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i))$的卡方分布。

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1))$、……、${\displaystyle Z_{k))$是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\bar {Z)))^{2}\sim \chi _{k-1}^{2))$

其中均值

${\displaystyle {\bar {Z))={\frac {1}{k))\sum _{i=1}^{k}Z_{i))$

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

${\displaystyle n{\bar {Z))^{2}\sim \chi _{1}^{2))$

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

• 卡方分配與卡方檢定 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 分布计算器（页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）

查 论 编 概率分布（列表（英语：List of probability distributions）） 離散單變量 有限支集 本福特定律 伯努利分布 Β-二项式分布 二項式分布 categorical（英语：categorical distribution） 超几何分布 negative（英语：Negative hypergeometric distribution） Poisson binomial（英语：Poisson binomial distribution） Rademacher（英语：Rademacher distribution） 孤子分布 離散型均勻分佈 齊夫定律 Zipf–Mandelbrot（英语：Zipf–Mandelbrot law） 無限支集 beta negative binomial（英语：beta negative binomial distribution） Borel（英语：Borel distribution） Conway–Maxwell–Poisson（英语：Conway–Maxwell–Poisson distribution） discrete phase-type（英语：Discrete phase-type distribution） Delaporte（英语：Delaporte distribution） extended negative binomial（英语：extended negative binomial distribution） Flory–Schulz（英语：Flory–Schulz distribution） Gauss–Kuzmin（英语：Gauss–Kuzmin distribution） 幾何分佈 对数分布 mixed Poisson（英语：mixed Poisson distribution） 负二项分布 Panjer（英语：(a,b,0) class of distributions） parabolic fractal（英语：parabolic fractal distribution） 卜瓦松分布 Skellam（英语：Skellam distribution） Yule–Simon（英语：Yule–Simon distribution） zeta（英语：zeta 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distribution） noncentral t（英语：Noncentral t-distribution） 正态分布 normal-inverse Gaussian（英语：normal-inverse Gaussian distribution） skew normal（英语：Skew normal distribution） slash（英语：Slash distribution） 稳定分布 司徒頓t分布 Tracy–Widom（英语：Tracy–Widom distribution） variance-gamma（英语：Variance-gamma distribution） 福格特函数 可变类型支集 generalized chi-squared（英语：Generalized chi-squared distribution） generalized extreme value（英语：generalized extreme value distribution） generalized Pareto（英语：Generalized Pareto distribution） Marchenko–Pastur（英语：Marchenko–Pastur distribution） Kaniadakis κ-exponential（英语：Kaniadakis Exponential distribution） Kaniadakis κ-Gamma（英语：Kaniadakis Gamma distribution） Kaniadakis κ-Weibull（英语：Kaniadakis Weibull distribution） Kaniadakis κ-Logistic（英语：Kaniadakis Logistic distribution） Kaniadakis κ-Erlangl（英语：Kaniadakis Erlang distribution） q-exponential（英语：q-exponential distribution） q-Gaussian（英语：q-Gaussian distribution） q-Weibull（英语：q-Weibull distribution） shifted log-logistic（英语：Shifted 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