卡方分布
概率密度函數 ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Chi-square_distributionPDF.png/325px-Chi-square_distributionPDF.png) |
累積分布函數 ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Chi-square_distributionCDF.png/325px-Chi-square_distributionCDF.png) |
参数 |
自由度 |
---|
值域 |
, |
---|
概率密度函数 |
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2))\Gamma \left({\frac {k}{2))\right)))\;x^((\frac {k}{2))-1}e^{-{\frac {x}{2))}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846f8111d6b4bae031edd73522f5a55437e5bb2c) |
---|
累積分布函數 |
![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2))\right)))\;\gamma \left({\frac {k}{2)),\,{\frac {x}{2))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29be6d36250f57f007ebff550b9b49a7f412f94d) |
---|
期望值 |
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) |
---|
中位數 |
![{\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k)){\bigg )}^{3))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d9d3cbb5fdbb1ad7c4642e6bca9cac449b553a) |
---|
眾數 |
max{ k − 2, 0 } |
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方差 |
![{\displaystyle 2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab358eb7defb4d2b0fc1f9e8a4e2d189fe600eb6) |
---|
偏度 |
![{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b153b226deb8255bbe12704015a73bb6610aa187) |
---|
峰度 |
![{\displaystyle 12/k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69c8e818cdc83079cc238bc28c4c04675d087d4) |
---|
熵 |
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2))&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8a0590a94767ed01049fd2a9f9b65192999829) |
---|
矩生成函数 |
,![{\displaystyle 2\,t<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcf126ab3972e8f5e00b957964923f812738ef2) |
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特徵函数 |
[1] |
---|
卡方分布(英語:chi-square distribution[2], χ²-distribution,或寫作χ²分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布,是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一,例如假說檢定和置信区间的计算。
由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于:
- 樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度(例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比);
- 同一母體的兩個随机变量是否独立(例如人的身高與交通違規的關聯性);
- 二或多個母體同一屬性的同質性檢定(義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距)。(詳見皮爾森卡方檢定)
若k个随机变量
、……、
是相互独立且符合标准正态分布的随机变量(数学期望为0、方差为1),则随机变量Z的平方和
![{\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5248fb0830a7e66ab3075b6a694d962b1468b5f7)
被称为服从自由度为 k 的卡方分布,记作
![{\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7674f8f53c0f1a36bf753fba2ae52fe8160d9f5c)
![{\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d984cc4b04e09948ab6334deb9d2f54050bc64b)
可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。
卡方分布的概率密度函数为:
![{\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2))\Gamma ({\frac {k}{2)))))x^((\frac {k}{2))-1}e^{\frac {-x}{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cf7ec6e88df8a9501490e85e76040fd2a51dda)
其中
,当
时
。这里Γ代表Gamma函数。
卡方分布的累积分布函数为:
,
其中γ(k,z)为不完全Γ函数
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
自由度为k的卡方变量的平均值是k,方差是2k。
卡方分布是伽玛分布的一个特例,它的熵为:
![{\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2))+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2))\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2))\right)\psi (k/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b00a2611c938a63f179db608405c7adfe073f3)
其中
是雙伽瑪函數。
當Gamma變數 頻率(λ)為1/2時,α的2倍為卡方變數之自由度。
即:
![{\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2)),\lambda ={\frac {1}{2))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7675e7364edf25e2584e5541e7823b5830f9f2)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ))={\frac {\frac {U}{2)){\frac {1}{2))}=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6658b3b9cb61817574167b9cd8fe8b9562c66619)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2))}={\frac {\frac {U}{2)){\left({\frac {1}{2))\right)^{2))}=2U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14098510d186dfd4794737ff5d68ba373d303b18)
卡方變數之期望值=自由度
卡方變數之方差=两倍自由度
由定义可得,独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地,若
分别独立服从自由度为
的卡方分布,那么它们的和
服从自由度为
的卡方分布。
若k个随机变量
、……、
是相互独立,符合标准正态分布的随机变量,则它们与均值之间偏差的平方和
其中均值
它的平方正比于自由度为1的卡方分布,即
p-value = 1- p_CDF.
χ2越大,p-value越小,則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值,即95%的可信度。
常用的χ2与p-value表如下:
自由度k \ P value (概率)
|
0.95
|
0.90
|
0.80
|
0.70
|
0.50
|
0.30
|
0.20
|
0.10
|
0.05
|
0.01
|
0.001
|
1
|
0.004
|
0.02
|
0.06
|
0.15
|
0.46
|
1.07
|
1.64
|
2.71
|
3.84
|
6.64
|
10.83
|
2
|
0.10
|
0.21
|
0.45
|
0.71
|
1.39
|
2.41
|
3.22
|
4.60
|
5.99
|
9.21
|
13.82
|
3
|
0.35
|
0.58
|
1.01
|
1.42
|
2.37
|
3.66
|
4.64
|
6.25
|
7.82
|
11.34
|
16.27
|
4
|
0.71
|
1.06
|
1.65
|
2.20
|
3.36
|
4.88
|
5.99
|
7.78
|
9.49
|
13.28
|
18.47
|
5
|
1.14
|
1.61
|
2.34
|
3.00
|
4.35
|
6.06
|
7.29
|
9.24
|
11.07
|
15.09
|
20.52
|
6
|
1.63
|
2.20
|
3.07
|
3.83
|
5.35
|
7.23
|
8.56
|
10.64
|
12.59
|
16.81
|
22.46
|
7
|
2.17
|
2.83
|
3.82
|
4.67
|
6.35
|
8.38
|
9.80
|
12.02
|
14.07
|
18.48
|
24.32
|
8
|
2.73
|
3.49
|
4.59
|
5.53
|
7.34
|
9.52
|
11.03
|
13.36
|
15.51
|
20.09
|
26.12
|
9
|
3.32
|
4.17
|
5.38
|
6.39
|
8.34
|
10.66
|
12.24
|
14.68
|
16.92
|
21.67
|
27.88
|
10
|
3.94
|
4.86
|
6.18
|
7.27
|
9.34
|
11.78
|
13.44
|
15.99
|
18.31
|
23.21
|
29.59
|
|
---|
| 離散單變量 | 有限支集 | |
---|
| 無限支集 |
- beta negative binomial
- Borel
- Conway–Maxwell–Poisson
- discrete phase-type
- Delaporte
- extended negative binomial
- Flory–Schulz
- Gauss–Kuzmin
- 幾何分佈
- 对数分布
- mixed Poisson
- 负二项分布
- Panjer
- parabolic fractal
- 卜瓦松分布
- Skellam
- Yule–Simon
- zeta
|
---|
| |
---|
| 連續單變量 | |
---|
| 混合單變量 | |
---|
| 联合分布 |
- Discrete:
- Ewens
- multinomial
- Continuous:
- 狄利克雷分布
- multivariate Laplace
- 多元正态分布
- multivariate stable
- multivariate t
- normal-gamma
- 随机矩阵
- LKJ
- 矩阵正态分布
- matrix t
- matrix gamma
- 威沙特分佈
|
---|
| 定向統計 |
- 循環單變量定向統計
- 圆均匀分布
- univariate von Mises
- wrapped normal
- wrapped Cauchy
- wrapped exponential
- wrapped asymmetric Laplace
- wrapped Lévy
- 球形雙變量
- Kent
- 環形雙變量
- bivariate von Mises
- 多變量
- von Mises–Fisher
- Bingham
|
---|
| 退化分布和奇異分佈 | |
---|
| 其它 |
- Circular
- 复合泊松分布
- elliptical
- exponential
- natural exponential
- location–scale
- Maximum entropy
- Mixture
- Pearson
- Tweedie
- Wrapped
|
---|
| |
|