在統計學中，自由度（英語：degree of freedom, df）是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度^[1]。一般來說，自由度等於獨立变量数減掉其衍生量數^[2]；舉例來說，方差的定義是樣本減平均值（一個由樣本決定的衍生量）的平方之和，因此對N個隨機樣本而言，其自由度為N-1。^[3]

數學上，自由度是一個隨機向量的維度數，也就是一個向量能被完整描述所需的最少單位向量數。舉例來說，從電腦螢幕到廚房的位移能夠用三維向量${\displaystyle a{\widehat {i))+b{\widehat {j))+c{\widehat {k))}$來描述，因此這個位移向量的自由度是3。自由度也通常與這些向量的座標平方和，以及卡方分布中的參數有所關聯。

範例

• 若存在兩個變數${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$，而 ${\displaystyle a+b=6}$那麼他的自由度為1。因為其實只有${\displaystyle a}$才能真正的自由變化，${\displaystyle b}$會被${\displaystyle a}$選值的不同所限制。
• 估计总体的平均数（${\displaystyle \mu \,}$）时，由于样本中的${\displaystyle n}$个数都是相互独立的，任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何数值的影響，所以自由度为${\displaystyle n}$。
• 估计总体的方差（${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$）时所使用的統計量是樣本的方差${\displaystyle s^{2))$，而${\displaystyle s^{2))$必須用到樣本平均數${\displaystyle {\overline {x))}$來計算。${\displaystyle {\overline {x))}$在抽樣完成後已確定，所以大小為${\displaystyle n}$的樣本中只要${\displaystyle n-1}$个数确定了，第${\displaystyle n}$個數就只有一個能使樣本符合${\displaystyle {\overline {x))}$的數值。也就是說，樣本中只有${\displaystyle n-1}$個數可以自由變化，只要確定了這${\displaystyle n-1}$個數，方差也就确定了。这裡，平均數${\displaystyle {\overline {x))}$就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，樣本方差${\displaystyle s^{2))$的自由度为${\displaystyle n-1}$。
• 统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中，如果共有${\displaystyle p}$个参数需要估计，则其中包括了${\displaystyle p-1}$个自变量（与截距对应的自变量是常量）。因此该回归方程的自由度为${\displaystyle p-1}$。
• 如果用刀剖柚子，在北极点沿经线方向割3刀，得6个角。这6个角可视为3对。6个角的平均角度一定是60度。其中半边3个角中，只会有2个可以自由选择，一旦2个数值确定第3个角也会唯一地确定。在总和已知的情况下，切分角的个数比能够自由切分的个数大1。

參考文獻

查 论 编 统计学 描述统计学 连续概率 集中趋势 平均数 平方 算術 幾何 調和 算术-几何 几何-调和 希羅／平均数不等式 中位數 眾數 离散程度 全距 变异系数 百分位數 四分位距 四分位数 標準差 方差 平均差 標準分數 切比雪夫不等式 基尼系数 分布形态（英语：Shape of the distribution） 中心极限定理 矩 偏態 峰態 离散概率 次數（英语：Count data） · 列聯表（英语：Contingency table） 推論統計學 和假說檢定 推論統計學 置信区间 區間估計（英语：Interval estimation） 显著性差异 元分析 贝叶斯推断 实验设计 总体 抽樣 重抽样 刀切法 自助法 交叉驗證 重复（英语：Replication (statistics)） 阻碍 靈敏度和特異度 區集（英语：Blocking (statistics)） 缺失数据 样本量（英语：Sample size） 標準誤 零假设 备择假设 第一类错误与第二类错误 统计功效 效应值 常规估计 贝叶斯推断 區間估計（英语：Interval estimation） 最大似然估计 最小距離估計（英语：Minimum distance estimation） 矩估计 最大间距 假设检验 Z檢驗 学生t检验 F檢定 卡方检验 Wald檢定（英语：Wald test） 曼-惠特尼檢定（英语：Mann–Whitney U test） 秩和检验 生存分析 生存函数 乘積極限估計量 對數秩和檢定 失效率 危險比例模式 相關及 迴歸分析 相关性 干擾因素 皮尔逊積矩相關係數 等級相關（英语：Rank correlation） (斯皮尔曼等级相关系数 肯德等級相關係數（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）) 自由度 误差和残差 線性回歸 線性模型（英语：Linear model） 一般线性模型 廣義線性模型 簡單線性迴歸 普通最小二乘法 贝叶斯回归（英语：Bayesian linear regression） 方差分析 协方差分析（英语：Analysis of covariance） 非线性回归 非参数回归模型（英语：Nonparametric regression） 半参数回归模型（英语：Semiparametric regression） 邏輯斯諦迴歸 统计图形 饼图 条形图 双标图 箱形圖 管制圖 森林圖（英语：Forest plot） 直方图 分位圖 趋势图 散点图 莖葉圖 雷达图（英语：Radar chart） 示意地圖 其他 统计类型（維基數據所列：Q47103999） 回應過程效度 統計誤用 分类 主题 共享资源 专题