Β分布
概率密度函數
累積分布函數
参数
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
值域
x
∈
(
0
;
1
)
{\displaystyle x\in (0;1)\!}
概率密度函数
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1)){\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))\!}
累積分布函數
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
期望值
E
[
x
]
=
α
α
+
β
{\displaystyle \operatorname {E} [x]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta ))\!}
E
[
ln
x
]
=
ψ
(
α
)
−
ψ
(
α
+
β
)
{\displaystyle \operatorname {E} [\ln x]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}
(见双伽玛函数 ) 中位數
I
0.5
−
1
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{0.5}^{-1}(\alpha ,\beta )}
无解析表达 眾數
α
−
1
α
+
β
−
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))\!}
for
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}
方差
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))\!}
偏度
2
(
β
−
α
)
α
+
β
+
1
(
α
+
β
+
2
)
α
β
{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))}
峰度
见文字 熵
见文字 矩生成函数
1
+
∑
k
=
1
∞
(
∏
r
=
0
k
−
1
α
+
r
α
+
β
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r))\right){\frac {t^{k)){k!))}
特徵函数
1
F
1
(
α
;
α
+
β
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
(见合流超几何函数 )
Β分布 ,亦称貝它分布 、Beta 分布 (Beta distribution),在概率论 中,是指一组定义在
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
区间的连续概率分布 ,有两个母数
α
,
β
>
0
{\displaystyle \alpha ,\beta >0}
。
Β分布的概率密度函数 是:
f
(
x
;
α
,
β
)
=
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
∫
0
1
u
α
−
1
(
1
−
u
)
β
−
1
d
u
=
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
=
1
B
(
α
,
β
)
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1)){\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du))\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )))\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned))}
其中
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
是Γ函数 。如果
n
{\displaystyle n}
為正整數 ,则有:
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
随机变量X服从参数为
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
的Β分布通常写作
X
∼
Be
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Be))(\alpha ,\beta )}
Β分布的累积分布函数 是:
F
(
x
;
α
,
β
)
=
B
x
(
α
,
β
)
B
(
α
,
β
)
=
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))=I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
其中
B
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle \mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}
是不完全Β函数 ,
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
是正则不完全贝塔函数 。
参数为
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
Β分布的众数 是:
α
−
1
α
+
β
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))\\\end{aligned))}
[1] 期望值 和方差 分别是:
μ
=
E
(
X
)
=
α
α
+
β
{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\alpha +\beta ))}
Var
(
X
)
=
E
(
X
−
μ
)
2
=
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X-\mu )^{2}={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))}
偏度 是:
E
(
X
−
μ
)
3
[
E
(
X
−
μ
)
2
]
3
/
2
=
2
(
β
−
α
)
α
+
β
+
1
(
α
+
β
+
2
)
α
β
{\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (X-\mu )^{3)){[\operatorname {E} (X-\mu )^{2}]^{3/2))}={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))}
峰度 是:
E
(
X
−
μ
)
4
[
E
(
X
−
μ
)
2
]
2
−
3
=
6
[
α
3
−
α
2
(
2
β
−
1
)
+
β
2
(
β
+
1
)
−
2
α
β
(
β
+
2
)
]
α
β
(
α
+
β
+
2
)
(
α
+
β
+
3
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (X-\mu )^{4)){[\operatorname {E} (X-\mu )^{2}]^{2))}-3={\frac {6[\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))}
或:
6
[
(
α
−
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
−
α
β
(
α
+
β
+
2
)
]
α
β
(
α
+
β
+
2
)
(
α
+
β
+
3
)
{\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))}
k
{\displaystyle k}
阶矩 是:
E
(
X
k
)
=
B
(
α
+
k
,
β
)
B
(
α
,
β
)
=
(
α
)
k
(
α
+
β
)
k
{\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})={\frac {\operatorname {B} (\alpha +k,\beta )}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )))={\frac {(\alpha )_{k)){(\alpha +\beta )_{k))))
其中
(
x
)
k
{\displaystyle (x)_{k))
表示递进阶乘幂 。
k
{\displaystyle k}
阶矩 还可以递归地表示为:
E
(
X
k
)
=
α
+
k
−
1
α
+
β
+
k
−
1
E
(
X
k
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})={\frac {\alpha +k-1}{\alpha +\beta +k-1))\operatorname {E} (X^{k-1})}
另外,
E
(
log
X
)
=
ψ
(
α
)
−
ψ
(
α
+
β
)
{\displaystyle \operatorname {E} (\log X)=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}
给定两个Β分布随机变量, X ~ Beta(α, β) and Y ~ Beta(α', β'), X 的微分熵 为:[2]
h
(
X
)
=
ln
B
(
α
,
β
)
−
(
α
−
1
)
ψ
(
α
)
−
(
β
−
1
)
ψ
(
β
)
+
(
α
+
β
−
2
)
ψ
(
α
+
β
)
{\displaystyle {\begin{aligned}h(X)&=\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned))}
其中
ψ
{\displaystyle \psi }
表示双伽玛函数 。
联合熵 为:
H
(
X
,
Y
)
=
ln
B
(
α
′
,
β
′
)
−
(
α
′
−
1
)
ψ
(
α
)
−
(
β
′
−
1
)
ψ
(
β
)
+
(
α
′
+
β
′
−
2
)
ψ
(
α
+
β
)
.
{\displaystyle H(X,Y)=\ln \mathrm {B} (\alpha ',\beta ')-(\alpha '-1)\psi (\alpha )-(\beta '-1)\psi (\beta )+(\alpha '+\beta '-2)\psi (\alpha +\beta ).\,}
其KL散度 为:
D
K
L
(
X
,
Y
)
=
ln
B
(
α
′
,
β
′
)
B
(
α
,
β
)
−
(
α
′
−
α
)
ψ
(
α
)
−
(
β
′
−
β
)
ψ
(
β
)
+
(
α
′
−
α
+
β
′
−
β
)
ψ
(
α
+
β
)
.
{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(X,Y)=\ln {\frac {\mathrm {B} (\alpha ',\beta ')}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))-(\alpha '-\alpha )\psi (\alpha )-(\beta '-\beta )\psi (\beta )+(\alpha '-\alpha +\beta '-\beta )\psi (\alpha +\beta ).}
^ Johnson, Norman L., Samuel Kotz, and N. Balakrishnan (1995). "Continuous Univariate Distributions, Vol. 2", Wiley, ISBN 978-0-471-58494-0 .
^ A. C. G. Verdugo Lazo and P. N. Rathie. "On the entropy of continuous probability distributions," IEEE Trans. Inf. Theory, IT-24:120–122,1978.
離散單變量
有限支集 無限支集
beta negative binomial
Borel
Conway–Maxwell–Poisson
discrete phase-type
Delaporte
extended negative binomial
Flory–Schulz
Gauss–Kuzmin
幾何分佈
对数分布
mixed Poisson
负二项分布
Panjer
parabolic fractal
卜瓦松分布
Skellam
Yule–Simon
zeta
連續單變量
混合單變量
联合分布
Discrete:
Ewens
multinomial
Continuous:
狄利克雷分布
multivariate Laplace
多元正态分布
multivariate stable
multivariate t
normal-gamma
随机矩阵
LKJ
矩阵正态分布
matrix t
matrix gamma
威沙特分佈
定向統計
循環單變量定向統計
圆均匀分布
univariate von Mises
wrapped normal
wrapped Cauchy
wrapped exponential
wrapped asymmetric Laplace
wrapped Lévy
球形雙變量
Kent
環形雙變量
bivariate von Mises
多變量
von Mises–Fisher
Bingham
退化分布 和奇異分佈 其它
Circular
复合泊松分布
elliptical
exponential
natural exponential
location–scale
Maximum entropy
Mixture
Pearson
Tweedie
Wrapped