拓扑空间 (英语:Topological space )是一种赋予“一点附近”这个概念的抽象数学结构 ;拓扑空间也是一个集合,其元素称为点,由此可以定义出如收敛 、连通 、连续 等概念。拓扑空间在现代数学 的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学 。
拓扑结构最实用的动机,在于怎么去定义“一点的附近”,用以定义函数极限 。
对于度量空间
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
内的任一点
x
{\displaystyle x}
,可定义中心为
x
{\displaystyle x}
,半径为
r
>
0
{\displaystyle r>0}
的开球
B
(
x
;
r
)
:=
{
y
∈
M
|
d
(
x
,
y
)
<
r
}
{\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\))
然后把开球视为点
x
{\displaystyle x}
附近的“开放边界区域”。但考虑到“区域”应该是有任意形状的,那一般的“开放边界区域”,应该是任取里面的点
x
{\displaystyle x}
,都会有一个够小的开球
B
(
x
;
r
)
{\displaystyle B(x;r)}
完全落在这个区域里,也就是说,可以定义
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
的开子集
O
⊆
M
{\displaystyle O\subseteq M}
为满足如下条件的子集合
(
∀
x
∈
O
)
(
∃
r
>
0
)
[
B
(
x
;
r
)
⊆
O
]
{\displaystyle (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]}
这样定义的开集有一些有趣的性质:
(1) 任二开集的交集 也是开集
任取两个
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,\,d)}
的开子集
O
1
,
O
2
⊆
M
{\displaystyle O_{1},\,O_{2}\subseteq M}
,若
x
∈
O
1
∩
O
2
{\displaystyle x\in O_{1}\cap O_{2))
,根据定义存在
r
1
,
r
2
>
0
{\displaystyle r_{1},\,r_{2}>0}
使得
B
(
x
;
r
1
)
⊆
O
1
{\displaystyle B(x;r_{1})\subseteq O_{1))
B
(
x
;
r
2
)
⊆
O
2
{\displaystyle B(x;r_{2})\subseteq O_{2))
这样若取
r
=
min
{
r
1
,
r
2
}
{\displaystyle r=\min {\{r_{1},\,r_{2}\))}
,则会有:
B
(
x
;
r
)
⊆
O
1
∩
O
2
{\displaystyle B(x;r)\subseteq O_{1}\cap O_{2))
也就是说,
O
1
∩
O
2
{\displaystyle O_{1}\cap O_{2))
也是个开集。
(2) 任意个开集的并集 也会是开集
若
A
⊆
P
(
M
)
{\displaystyle {\mathfrak {A))\subseteq {\mathcal {P))(M)}
是一群开集所构成的集合,也就是说
∀
O
{
(
O
∈
A
)
⇒
(
∀
x
∈
O
)
(
∃
r
>
0
)
[
B
(
x
;
r
)
⊆
O
]
}
{\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathfrak {A)))\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\))
如果取
a
∈
⋃
A
{\displaystyle a\in \bigcup {\mathfrak {A))}
换句话说:
∃
O
[
(
O
∈
A
)
∧
(
a
∈
O
)
]
{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {A)))\wedge (a\in O)\,]}
这样的话,显然有
(
∃
r
>
0
)
[
B
(
a
;
r
)
⊆
⋃
A
]
{\displaystyle (\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A))\,\right]}
所以
⋃
A
{\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A))}
也会是一个开集。
以上的性质促使人们在不依托度量 情况下,去定义一个描述“一点的附近”的结构,换句话说,去抽象的定义一群开集是这么样的特殊集合,任二开集的交集是开的且任意开集的并集也是开的 。
上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间,因为缺少{2}和{3}的并集{2,3};右下角的集合也不是个拓扑空间,因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。 拓扑结构一词涵盖了开集系 ,闭集系 ,邻域系 ,开核 ,闭包 ,导集 ,滤子 等若干概念。可以从这些概念出发,给出若干种等价结构,但大部分书籍都以开集系为准。
根据定义动机 一节可以作如下的定义:
X
{\displaystyle X}
的子集族
O
⊆
P
(
M
)
{\displaystyle {\mathfrak {O))\subseteq {\mathcal {P))(M)}
若满足以下开集公理
正式定义
直观解释
X
,
∅
∈
O
{\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {O))}
X
{\displaystyle X}
本身和空集合也是开的
∀
O
1
∀
O
2
[
(
O
1
,
O
2
∈
O
)
⇒
(
O
1
∩
O
2
∈
O
)
]
{\displaystyle \forall O_{1}\forall O_{2}[\,(O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O)))\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O)))\,]}
有限个开集的交集 也是开的
∀
A
[
(
A
⊆
O
)
⇒
(
⋃
A
∈
O
)
]
{\displaystyle \forall {\mathfrak {A))\left[\,({\mathfrak {A))\subseteq {\mathfrak {O)))\Rightarrow \left(\bigcup {\mathfrak {A))\in {\mathfrak {O))\right)\,\right]}
任意个开集的并集 也是开的
则称
O
{\displaystyle {\mathfrak {O))}
为
X
{\displaystyle X}
的开集系 (其中的元素称为开集 )或拓扑 ,
(
X
,
O
)
{\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O)))}
则被称为一拓扑空间 ,
X
{\displaystyle X}
内的元素
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
则称为拓扑空间
(
X
,
O
)
{\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O)))}
的点 。
开集系的代号
O
{\displaystyle {\mathfrak {O))}
是字母“O”的德文尖角体 ,取名自德语 形容词 “offen ”(开的)。
从开集系出发定义其它概念:(
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
为
X
{\displaystyle X}
的子集)
闭集 :若
X
−
A
{\displaystyle X-A}
是开集,则称
A
{\displaystyle A}
是闭集。
邻域 :若存在开集
O
{\displaystyle O}
使得
x
∈
O
⊆
A
{\displaystyle x\in O\subseteq A}
,则称
A
{\displaystyle A}
是点
x
{\displaystyle x}
的邻域。
开核 :
A
{\displaystyle A}
的开核 (或内部 )
A
∘
{\displaystyle A^{\circ ))
定义为
A
{\displaystyle A}
内所有开集之并,也就是
A
∘
:=
⋃
{
O
∈
O
|
O
⊆
A
}
{\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O))\,{\big |}\,O\subseteq A\right\))
X
{\displaystyle X}
的子集族
F
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathfrak {F))\subseteq {\mathcal {P))(X)}
若满足如下闭集公理 :
正式定义
直观解释
X
,
∅
∈
F
{\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {F))}
X
{\displaystyle X}
本身和空集合也是闭的
∀
F
1
∀
F
2
[
(
F
1
,
F
2
∈
F
)
⇒
(
F
1
∪
F
2
∈
F
)
]
{\displaystyle \forall F_{1}\forall F_{2}[\,(F_{1},\,F_{2}\in {\mathfrak {F)))\Rightarrow (F_{1}\cup F_{2}\in {\mathfrak {F)))\,]}
有限个闭集的并集 是闭的
∀
B
[
(
B
⊆
F
)
⇒
(
⋂
B
∈
F
)
]
{\displaystyle \forall {\mathfrak {B))\left[\,({\mathfrak {B))\subseteq {\mathfrak {F)))\Rightarrow \left(\bigcap {\mathfrak {B))\in {\mathfrak {F))\right)\,\right]}
任意个闭集的交集 是闭的
则称
F
{\displaystyle {\mathfrak {F))}
为
X
{\displaystyle X}
的闭集系 (其中的元素称为闭集 )。
开集系的代号
F
{\displaystyle {\mathfrak {F))}
是字母“ F” 的德文尖角体 ,取名自法语 动词 “fermer ”(关闭)的过去分词 “fermé ”(封闭的)。
根据德摩根定理 和量词符号的意义 ,以下的子集族
O
F
=
{
O
∈
P
(
X
)
|
X
−
O
∈
F
}
{\displaystyle {\mathfrak {O))_{\mathfrak {F))=\left\{O\in {\mathcal {P))(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F))\right\))
为开集系,类似地,对于开集系
O
{\displaystyle {\mathfrak {O))}
,以下的子集族
F
O
=
{
F
∈
P
(
X
)
|
F
−
O
∈
O
}
{\displaystyle {\mathfrak {F))_{\mathfrak {O))=\left\{F\in {\mathcal {P))(X)\,{\big |}\,F-O\in {\mathfrak {O))\right\))
为闭集系,所以闭集系跟拓扑是等价的结构 。
从闭集系出发定义其它概念:(
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
为
X
{\displaystyle X}
的子集)
开集 :
X
−
A
{\displaystyle X-A}
是闭集,则称
A
{\displaystyle A}
是开集。
闭包 :
A
{\displaystyle A}
的闭包
A
¯
{\displaystyle {\overline {A))}
定义为包含A的所有闭集之交,也就是
A
¯
:=
⋂
{
F
∈
F
|
A
⊆
F
}
{\displaystyle {\overline {A)):=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F))\,{\big |}\,A\subseteq F\right\))
函数
U
:
X
→
P
[
P
(
X
)
]
{\displaystyle {\mathfrak {U)):X\to {\mathcal {P))[{\mathcal {P))(X)]}
(
P
[
P
(
X
)
]
{\displaystyle {\mathcal {P))[{\mathcal {P))(X)]}
指
X
{\displaystyle X}
的幂集 的幂集,也就是由所有子集族 所构成的集合)若对任意
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
满足如下邻域公理 :
正式定义
直观解释
∀
U
{
[
U
∈
U
(
x
)
]
⇒
(
x
∈
U
)
}
{\displaystyle \forall U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U))(x)\,]\Rightarrow (x\in U)\,\))
x
{\displaystyle x}
属于
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {U))(x)}
的任意元素(
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {U))(x)}
里的元素都是
x
{\displaystyle x}
的邻域)
∀
U
∀
V
{
[
U
,
V
∈
U
(
x
)
]
⇒
[
U
∩
V
∈
U
(
x
)
]
}
{\displaystyle \forall U\forall V\{\,[\,U,\,V\in {\mathfrak {U))(x)\,]\Rightarrow [\,U\cap V\in {\mathfrak {U))(x)\,]\,\))
x
{\displaystyle x}
的任二邻域的交集也是
x
{\displaystyle x}
的邻域
(
∀
V
⊆
X
)
[
∀
U
∈
U
(
x
)
]
{
(
U
⊆
V
)
⇒
[
V
∈
U
(
x
)
]
}
{\displaystyle (\forall V\subseteq X)[\,\forall U\in {\mathfrak {U))(x)\,]\{\,(U\subseteq V)\Rightarrow [\,V\in {\mathfrak {U))(x)\,]\,\))
包含任何
x
{\displaystyle x}
的邻域的任意子集也是
x
{\displaystyle x}
的邻域
[
∀
U
∈
U
(
x
)
]
[
∃
V
∈
U
(
x
)
]
{
(
V
⊆
U
)
∧
(
∀
y
∈
V
)
[
U
∈
U
(
y
)
]
}
{\displaystyle [\,\forall U\in {\mathfrak {U))(x)\,][\,\exists V\in {\mathfrak {U))(x)\,]\{\,(V\subseteq U)\wedge (\forall y\in V)[\,U\in {\mathfrak {U))(y)\,]\,\))
x
{\displaystyle x}
的每个邻域内有个
x
{\displaystyle x}
的邻域,使的大邻域都是小邻域里面点的领域
这样任意
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {U))(x)}
被称为
x
{\displaystyle x}
的邻域系 ,
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {U))(x)}
里的元素
U
∈
U
(
x
)
{\displaystyle U\in {\mathfrak {U))(x)}
则称为
x
{\displaystyle x}
的邻域 。
换句话说,函数
U
{\displaystyle {\mathfrak {U))}
将
X
{\displaystyle X}
的每个点
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
映射至
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {U))(x)}
,而
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {U))(x)}
则是所有
x
{\displaystyle x}
的邻域所构成的集族。
邻域系的代号
U
{\displaystyle {\mathfrak {U))}
是字母“ U” 的德文尖角体 ,取名自德语 动词 “ umgeben ”(环绕)的名词化 “Umgebung ”(周围、环境)。
若取以下的子集族
O
U
=
{
O
∈
P
(
X
)
|
(
∀
x
)
{
(
x
∈
O
)
⇒
[
O
∈
U
(
x
)
]
}
}
{\displaystyle {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U))=\left\{O\in {\mathcal {P))(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U))(x)\,]\,\}\right\))
因为
X
{\displaystyle X}
包含任意邻域,
X
{\displaystyle X}
本身显然为任意
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
的领域,故
X
∈
O
U
{\displaystyle X\in {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U))}
;另外空集合
∅
{\displaystyle \varnothing }
没有任何属于它的点,所以根据实质条件的意义 ,
∅
∈
O
U
{\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U))}
。
若取
O
1
,
O
2
∈
O
U
{\displaystyle O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U))}
,根据邻域公理的第二项有
O
1
∩
O
2
∈
O
U
{\displaystyle O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U))}
;若取
B
⊆
O
U
{\displaystyle {\mathfrak {B))\subseteq {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U))}
,且
x
∈
⋃
B
{\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {B))}
,那换句话说
∃
O
[
(
O
∈
B
)
∧
(
x
∈
O
)
]
{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B)))\wedge (x\in O)\,]}
这样的话有
∃
O
[
(
O
∈
B
)
∧
(
x
∈
O
)
∧
(
O
∈
O
U
)
]
{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B)))\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U)))\,]}
那这样根据邻域公理第三项,
⋃
B
∈
O
U
{\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B))\in {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U))}
,所以
O
U
{\displaystyle {\mathfrak {O))_{\mathfrak {U))}
的确是个开集合系。
类似地对于开集系
O
{\displaystyle {\mathfrak {O))}
,若对任意
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
取
U
(
x
)
=
{
U
∈
P
(
X
)
|
∃
O
[
(
O
∈
O
)
∧
(
O
⊆
U
)
∧
(
x
∈
O
)
]
}
{\displaystyle {\mathfrak {U))(x)=\left\{U\in {\mathcal {P))(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O)))\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\))
那
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathfrak {U))(x)}
也会符合上面四款邻域系公理(注意到第四项取
V
=
U
∘
{\displaystyle V=U^{\circ ))
),所以对所有
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
定义了邻域系等同于定义了一个拓扑 。
从邻域系出发定义其它概念:(
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
为
X
{\displaystyle X}
的子集)
开集 :对任意
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
,有
A
∈
U
(
x
)
{\displaystyle A\in {\mathfrak {U))(x)}
,则称
A
{\displaystyle A}
是开集。(开集本身是它所有点的邻域)
开核 :
A
∘
=
{
x
∈
X
|
∃
U
{
[
U
∈
U
(
x
)
]
∧
(
U
⊆
A
)
}
}
{\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U))(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\))
(开核里的每一点,都有一个包含于
A
{\displaystyle A}
的领域。)
闭包 :
A
¯
=
{
x
∈
X
|
∀
U
{
[
U
∈
U
(
x
)
]
⇒
(
U
∩
A
≠
∅
)
}
}
{\displaystyle {\overline {A))=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U))(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\))
。(闭包里每一点的领域,都跟
A
{\displaystyle A}
有交集。)
X
{\displaystyle X}
的幂集
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
上的一元运算
c
:
P
(
X
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle c:P(X)\to P(X)}
(即将
X
{\displaystyle X}
的子集A映射为
X
{\displaystyle X}
的子集
c
(
A
)
{\displaystyle c(A)}
)称为闭包运算 (像称为原像的闭包 )。当且仅当运算
c
{\displaystyle c}
满足下述的闭包公理 :
A1 :
A
⊆
c
(
A
)
{\displaystyle A\subseteq c(A)}
;
A2 :
c
(
c
(
A
)
)
=
c
(
A
)
{\displaystyle c(c(A))=c(A)}
;
A3 :
c
(
A
∪
B
)
=
c
(
A
)
∪
c
(
B
)
{\displaystyle c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)}
;
A4 :
c
(
∅
)
=
∅
{\displaystyle c(\varnothing )=\varnothing }
。集合
A
{\displaystyle A}
的闭包通常记为
A
¯
{\displaystyle {\overline {A))}
。
从闭包出发定义其它概念:
从闭包 定义闭集 :
X
{\displaystyle X}
的子集
A
{\displaystyle A}
是闭集,当且仅当
A
=
A
¯
{\displaystyle A={\overline {A))}
。
从闭包 定义开核 :
X
{\displaystyle X}
的子集
A
{\displaystyle A}
的开核
A
∘
=
X
−
X
−
A
¯
{\displaystyle A^{\circ }=X-{\overline {X-A))}
。
从闭包 定义邻域 :
X
{\displaystyle X}
的子集
U
{\displaystyle U}
是点
x
{\displaystyle x}
的邻域,当且仅当
x
∉
X
−
U
¯
{\displaystyle x\notin {\overline {X-U))}
。
X
{\displaystyle X}
的幂集
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
上的一元运算
o
:
P
(
X
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle o:P(X)\to P(X)}
(即将
X
{\displaystyle X}
的子集A映射为
X
{\displaystyle X}
的子集
o
(
A
)
{\displaystyle o(A)}
)称为开核运算 (像称为原像的开核 或内部 )。当且仅当运算
o
{\displaystyle o}
满足如下开核公理 :
I1 :
o
(
A
)
⊆
A
{\displaystyle o(A)\subseteq A}
;
I2 :
o
(
o
(
A
)
)
=
o
(
A
)
{\displaystyle o(o(A))=o(A)}
;
I3 :
o
(
A
∩
B
)
=
o
(
A
)
∩
o
(
B
)
{\displaystyle o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)}
;
I4 :
o
(
X
)
=
X
{\displaystyle o(X)=X}
。集合
A
{\displaystyle A}
的开核通常记为
A
∘
{\displaystyle A^{\circ ))
。
(显然,开核运算是闭包运算的对偶概念)。
从开核出发定义其它概念:
从开核 定义开集 :
X
{\displaystyle X}
的子集
A
{\displaystyle A}
是开集,当且仅当
A
=
A
∘
{\displaystyle A=A^{\circ ))
。
从开核 定义邻域 :
X
{\displaystyle X}
的子集
U
{\displaystyle U}
是点
x
{\displaystyle x}
的邻域,当且仅当
x
∈
U
∘
{\displaystyle x\in U^{\circ ))
。
从开核 定义闭包 :
X
{\displaystyle X}
的子集
A
{\displaystyle A}
的闭包
A
¯
=
X
−
(
X
−
A
)
∘
{\displaystyle {\overline {A))=X-(X-A)^{\circ ))
。
X
{\displaystyle X}
的幂集
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P))(X)}
上的一元运算
d
:
P
(
X
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle d:{\mathcal {P))(X)\to {\mathcal {P))(X)}
(即将
X
{\displaystyle X}
的子集
A
{\displaystyle A}
映射为
X
{\displaystyle X}
的子集
d
(
A
)
{\displaystyle d(A)}
)称为导集运算 (像称为原像的导集 ),当且仅当
d
{\displaystyle d}
满足以下导集公理 :
D1 :
d
(
∅
)
=
∅
{\displaystyle d(\varnothing )=\varnothing }
;
D2 :
d
(
d
(
A
)
)
⊆
d
(
A
)
∪
A
{\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}
;
D3 :
∀
x
∈
X
,
d
(
A
)
=
d
(
A
−
{
x
}
)
{\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}
;
D4 :
d
(
A
∪
B
)
=
d
(
A
)
∪
d
(
B
)
{\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}
从导集出发定义其它概念:
从导集 定义闭集 :
X
{\displaystyle X}
的子集
A
{\displaystyle A}
是闭集,当且仅当
d
(
A
)
⊆
A
{\displaystyle d(A)\subseteq A}
。
同一个全集可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系 。当拓扑
T
1
{\displaystyle {\mathfrak {T))_{1))
的每一个开集都是拓扑
T
2
{\displaystyle {\mathfrak {T))_{2))
的开集时,称拓扑
T
2
{\displaystyle {\mathfrak {T))_{2))
比拓扑
T
1
{\displaystyle {\mathfrak {T))_{1))
更细 ,或称拓扑
T
1
{\displaystyle {\mathfrak {T))_{1))
比拓扑
T
2
{\displaystyle {\mathfrak {T))_{2))
更粗 。
仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。
最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。
在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
类似定义拓扑空间,连续映射也有基于开集,闭集,开核,闭包和邻域等概念的等价定义。
f
{\displaystyle f}
对任何闭集的原像是闭集。
对点
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的任一邻域
V
{\displaystyle V}
,都存在点
x
{\displaystyle x}
的一个邻域
U
{\displaystyle U}
,使得
f
(
U
)
⊂
V
{\displaystyle f(U)\subset V}
,则称
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在点
x
{\displaystyle x}
连续,而连续映射即点点连续的映射。
对任一集合
A
{\displaystyle A}
,
f
(
A
¯
)
⊆
f
(
A
)
¯
{\displaystyle f({\overline {A)))\subseteq {\overline {f(A)))}
成立。
对任一集合
A
{\displaystyle A}
,
f
−
1
(
A
∘
)
⊆
(
f
−
1
(
A
)
)
∘
{\displaystyle f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ ))
成立。 拓扑空间作为对象 ,连续映射作为态射 ,构成了拓扑空间范畴 ,它是数学中的一个基础性的范畴 。试图通过不变量 来对这个范畴进行分类的想法,激发和产生了整个领域的研究工作,包括同伦论 、同调论 和K-理论 。
给定拓扑空间
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
,A是X的子集,有以下概念(继续使用上面的符号):
内部,内点
A的开核o(A)又称为A的内部 ,其元素称为A的内点 。
外部,外点
X - c(A)称为A的外部 ,其元素称为A的外点 。
边界,边界点
c(A)∩c(X-A)称为A的边界 ,其元素称为A的边界点 。
触点
A的闭包c(A)中的点称为A的触点 。
稠密性,稠密集
称A在X中是稠密的 (或称稠密集 ),当且仅当c(A) = X。
边缘集
称A是X的边缘集 ,当且仅当X-A在X中是稠密的。
疏性,疏集
称A在X中是疏的 (或称疏集 ),当且仅当c(A)是X中的边缘集。
第一范畴集,第二范畴集
称A是X中的第一范畴集 ,当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集 ,当且仅当A不是X中的第一范畴集。
聚点,导集
X中的点x称为A的聚点 ,当且仅当x ∈ c(A - {x})(或者等价地,x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点)。A的所有聚点组成的集合称为A的导集 。
孤立点
A中的点x称为A的孤立点 ,当且仅当它不是A的聚点。
孤点集,离散集
称A为孤点集 或离散集 ,当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
自密集
称A为自密集 ,当且仅当A中的点都是A的聚点(等价地,A中没有A的孤立点)。
完备集
称A为完备集 ,当且仅当A等于其导集。
自密核
A的最大自密子集称为A的自密核 。
无核集
称A是无核集 ,当且仅当A的自密核是∅(或等价地,A的任意非空子集都含有孤立点)。 网 的目的在推广序列及极限,网的收性称作Moore-Smith收敛 。其关键在于以有向集合 代替自然数集
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
。
空间
X
{\displaystyle X}
上的一个网
(
x
α
)
α
∈
A
{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A))
是从有向集合
A
{\displaystyle A}
映至
X
{\displaystyle X}
的映射。
若存在
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
,使得对每个
x
{\displaystyle x}
的邻域
U
{\displaystyle U}
都存在
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in A}
,使得
α
≥
β
⇒
x
α
∈
U
{\displaystyle \alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U}
,则称网
(
x
α
)
α
∈
A
{\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A))
收敛至
x
{\displaystyle x}
。
几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性,请参阅主条目网
实数 集R 构成一个拓扑空间:全体开区间 构成其上的一组拓扑基,其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R 上的开集是一组开区间的并(开区间的数量可以是无穷多个,但进一步可以证明,所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并)。从许多方面来说,实数集都是最基本的拓扑空间,并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解;但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间,它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
更一般的,n维欧几里得空间 R n 构成一个拓扑空间,其上的开集就由开球来生成。
任何度量空间 都可构成一个拓扑空间,如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间,如泛函分析 领域中的Banach空间 和希尔伯特空间 。
任何局部域 都自然地拥有一个拓扑,并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间 。
除了由全体开区间生成的拓扑之外,实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑 (lower limit topology)。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a , b )生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑;在这种拓扑空间中,一个点列收敛于一点,当且仅当,该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
流形 都是一个拓扑空间。
每一个单形 都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学 中非常有用的凸集 。在0、1、2和3维空间中,相应的单形分别是点 、线段 、三角形 和四面体 。
每一个单纯复形 都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型,参见多胞形 (Polytope)。
扎里斯基拓扑 是一种纯粹由代数来定义的拓扑,这种拓扑建立在某个环的交换环谱 之上或者某个代数簇 之上。对R n 或者C n 来说,相应扎里斯基拓扑定义的闭集,就是由全体多项式 方程的解集合构成。
线性图是一种能推广图 的许多几何性质的拓扑空间。
泛函分析 中的许多算子 集合可以获得一种特殊的拓扑,在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
任何集合都可以赋予离散拓扑 。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中,只有常数列或者网是收敛的。
任何集合都可以赋予平庸拓扑 。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中,任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们,在某些极端情况下,一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
有限补拓扑 。设X是一个集合 。X的所有有限子集 的补集 加上空集 ,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间 。有限补空间是这个集合上最小的T1 拓扑。
可数补拓扑 。设X是一个集合 。X的所有可数子集 的补集 加上空集 ,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间 。
如果Γ是一个序数 ,则集合[0, Γ]是一个拓扑空间,该拓扑可以由区间(a , b ]生成,此处a 和b 是Γ的元素。 X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = {∅ , X } 会形成一个平庸拓扑。
X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {∅ ,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4)) 会形成另一个拓扑。
X = ℤ (整数集合)及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身不是 一个拓扑,因为(例如)所有不包含零的有限集合的并集是无限的,但不是 ℤ 的全部,因此不在 τ 内。
1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
3个元素的集上总拓扑数只有29个。
4个元素的集上总拓扑数只有355个。
n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中,不过已取得些成果。参见OEIS -A000798说明 3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类,具体如下:
{∅, X}
{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X} 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑 ,子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
对任何非空的拓扑空间族,我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑,这种拓扑称为积拓扑 。对于有限积来说,积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
商拓扑 可以被如下地定义出来:若X 是一个拓扑空间,Y 是一个集合,如果f : X → Y 是一个满射 ,那么Y 获得一个拓扑;该拓扑的开集可如此定义,一个集合是开的,当且仅当它的逆像 也是开的。可以利用f 自然投影确定下X 上的等价类 ,从而给出拓扑空间X 上的一个等价关系 。
Vietoris拓扑 依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。
以下假设X为一个拓扑空间。
详细资料请参照分离公理 以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式,请参照分离公理的历史。
拓扑不可区分性
X中两个点x,y称为拓扑不可区分的 ,当且仅当如下结论之一成立:
对X中每个开集U,或者U同时包含x,y两者,或者同时不包含它们。
x的邻域系和y的邻域系相同。
x
∈
{
y
}
¯
{\displaystyle x\in {\overline {\{y\))))
,且
y
∈
{
x
}
¯
{\displaystyle y\in {\overline {\{x\))))
。 可分的
X称为可分的 ,当且仅当它拥有一个可数 的稠密 子集。
第一可数
X称为第一可数 的 ,当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数
X称为第二可数 的 ,当且仅当其拥有一个可数的基。 连通
X称为连通 的 ,当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。(或等价地,该空间的闭开集 (既开又闭的集合)只有空集和全空间两者)。
局部连通
X称为局部连通 的 ,当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基,这个局部基由连通集构成。
完全不连通
X称为完全不连通 的 ,当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
道路连通
X称为道路连通 的 ,当且仅当其任意两点x 和y ,存在从x 到y 的道路p ,也即,存在一个连续映射p : [0,1] → X ,满足p (0)= x 且p (1)= y 。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通
X称为局部道路连通的 ,当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基,这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的,当且仅当它是道路连通的。
单连通
X称为单连通 的 ,当且仅当它是道路连通且每个连续映射
f
:
S
1
→
X
{\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}
都与常数映射同伦 。
可缩
X称为可缩的 ,当且仅当它同伦等价 到一点。
超连通
X称为超连通的 ,当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通
X称为极连通的 ,当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
平庸的
X称为平庸的 ,当且仅当其开集只有本身与空集。 (详细资料请参照紧集 )
紧性
X称为紧的 ,当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
林德洛夫性质
X称为拥有林德洛夫性质 ,当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
仿紧
X称为仿紧的 ,当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
可数紧
X称为可数紧的 ,当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
列紧
X称为可数紧的 ,当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
伪紧
X称为伪紧的 ,当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。 可度量性意味着可赋予空间一个度量,使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理 :一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形 皆可度量化。
对于任一类代数结构,我们都可以考虑其上的拓扑结构,并要求相关的代数运算是连续映射。例如,一个拓扑群
G
{\displaystyle G}
乃是一个拓扑空间配上连续映射
m
:
G
×
G
→
G
{\displaystyle m:G\times G\rightarrow G}
(群乘法)及
i
:
G
→
G
{\displaystyle i:G\rightarrow G}
(逆元),使之具备群结构。
同样地,可定义拓扑向量空间 为一个赋有拓扑结构的向量空间,使得加法与纯量乘法是连续映射,这是泛函分析 的主题;我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。
结合拓扑与代数结构,往往可以引出相当丰富而实用的理论,例如微分几何探究的主齐性空间 。在代数数论 及代数几何 中,人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论,并得到较简明的陈述;如数论中的局部域 (一种拓扑域),伽罗瓦理论 中考虑的Krull拓扑(一种特别的拓扑群),以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑(一种拓扑环)等等。
拓扑空间也可能拥有自然的序结构 ,例子包括:
谱空间(spectral space)上的序结构。
特殊化预序 :定义
x
≤
y
⇔
c
l
(
x
)
⊂
c
l
(
y
)
{\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)}
。常见于计算机科学 。
n个元素的集上总拓扑数规律
John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256 .
James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292 . 点集拓扑学初步 / 江泽涵 著. - 上海 : 上海科学技术出版社 , 1979年1月。
点集拓扑学基础 / 吴东兴著. - 北京 : 科学出版社 , 1981年3月。
点集拓扑学原理 / 鲍姆著;蒲思立译. - 北京 : 人民教育出版社 , 1981年6月。
一般拓扑学 / 李普舒茨著;陈昌平等译. - 上海 : 华东师大出版社, 1982年1月。
一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛,吴让泉译. - 北京 : 科学出版社 , 1982年5月。
拓扑学引论 / 本特·门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁 : 广西人民出版社 , 1983年1月。
基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著;孙以丰译. - 北京 : 北京大学出版社 , 1983年1月。
点集拓扑学 / 方嘉琳编著. - 沈阳 : 辽宁人民出版社 , 1983年4月。
拓扑学的基础和方法 / 野口宏著;郭卫中,王家彦译. - 北京 : 科学出版社 , 1986年3月。
拓扑学初步 / 苏步青 著. - 上海 : 复旦大学出版社 , 1986年4月。
拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. - 北京 : 科学出版社 , 1987年8月。
基础拓扑学 / 何伯和,廖公夫著. - 北京 : 高等教育出版社 , 1991年1月。
一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光著. - 成都 : 四川教育出版社, 1991年3月。
拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著;盛立人等译. - 北京 : 高等教育出版社 , 1992年9月。
基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. - 北京 : 北京大学出版社 , 1997年. ISBN 7-301-03103-3 .