康托尔集
在数学中，康托尔集（Cantor set）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入[1][2]（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现[3][4][5][6]），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。
康托尔集的构造
康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从区间中去掉中间的三分之一，留下两条线段：。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：
![{\displaystyle \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57121c2b6c63c0b2f38eb96b1f7a543b5d1c522)
![{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3))\right]\cup \left[{\frac {2}{3)),1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6c7cee73b41045dc098a5c21eb838c0571b005)
![{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9))\right]\cup \left[{\frac {2}{9)),{\frac {1}{3))\right]\cup \left[{\frac {2}{3)),{\frac {7}{9))\right]\cup \left[{\frac {8}{9)),1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8007f97b134ff16f892b0b7f9b944121adc285f)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle C_{0}:=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730bbc472ba513655a6718c63db143d18ced45c9)
则第步递归得到的结果：
, 对于
所以：
, 对于 .
下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。
参见
注释
- ^ Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)]，Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
- ^ H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.
- ^ Henry J.S. Smith (1875) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
- ^ “康托尔集”还由Paul du Bois-Reymond发现（1831–1889）。参见：Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung，” Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128页的脚注。“康托尔集”还由Vito Volterra在1881年发现（1860–1940）。参见：Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions]，Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
- ^ José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
- ^ Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
- ^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
- ^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.
参考文献
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446 (See example 29).
- Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).
- cut-the-knot上的康托尔集 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- cut-the-knot上的康托尔集与函数 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
外部链接
- Cantor Sets （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Cantor Set and Function （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
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