直观上，实数完备性（英语：Completeness of the real numbers）意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。

等价命题

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为出发点。以下从最小上界定理出发，来证明其他等价命题。

最小上界性

又称为上确界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 简称LUB），也就是

也就是说，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其证明请参见实数的构造。

柯西收敛准则

设 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} ))$ 是实数柯西序列。设 S 为这样一个集合，其中每个实数只大于序列 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} ))$ 中的有限个成员。${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+))$，设 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+))$ 使得 ${\displaystyle \forall n,m\geq N}$， ${\displaystyle |s_{n}-s_{m}|<\varepsilon }$。于是这个序列在区间 ${\displaystyle (s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )}$ 里出现无限多次，而且只在它的补集里最多出现有限次。这意味着 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \in }$ S， 因此 S${\displaystyle \not =\emptyset }$。另外 ${\displaystyle s_{N}+\varepsilon }$ 是 S 的上界。于是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \leq b\leq s_{N}+\varepsilon }$ 。由三角不等式，当 n>N 时成立时 ${\displaystyle d(s_{n},b)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},b)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon }$。所以 ${\displaystyle s_{n}\longrightarrow b}$ 。

满足柯西收敛准则的度量空间称为完备空间，若取函数 ${\displaystyle d}$ 为

${\displaystyle d=\left\{(a,\,b){\bigg |}(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (b=|a|)\right\))$

可以验证 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,d)}$ 为一度量空间，这样本节的结果也可以重新叙述为“实数系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 有最小上界定理等价于 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,d)}$ 为完备空间。”

区间套原理

定理声称对于任一的有界闭区间套I_n（例如I_n = [a_n, b_n]并满足a_n ≤ b_n），它们的交集I_n非空，且为闭区间${\displaystyle [\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]}$；特别地，假若${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0}$，则它们的交集J为一个包含且仅包含${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n))$的单点集。

单调有界定理

如果a_k是一个单调的实数序列（例如a_k ≤ a_k+1），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列是有界的。证明可以通过利用LUB公理来完成。

聚点定理

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理（英语：Bolzano–Weierstrass theorem）说明，${\displaystyle \mathbb {R} }$中的一个子集${\displaystyle E}$是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当${\displaystyle E}$是有界闭集。更一般地，这个定理对有限维实向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$亦有效。

参考资料

• Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).