图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。 同伦 (英语:Homotopic [注 1] )在数学和拓扑学 上描述了两个对象间的“连续变化”。两个定义在拓扑空间 之间的连续函数 ,如果其中一个能“连续地形变”为另一个,则这两个函数称为同伦的 。这样的形变称为两个函数之间的同伦 。同伦的一个重要的应用是同伦群 和上同伦群 的定义,它们是代数拓扑 中重要的不变量 。
事实上,在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间 、CW复形 或谱 。
定义
两个将环面 映射到R 3 的嵌入 之间的同伦:“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕 的例子。 给定两个拓扑空间
X
{\displaystyle X\,\!}
和
Y
{\displaystyle Y\,\!}
。考虑两个连续函数
f
,
g
:
X
→
Y
{\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}
,若存在一个定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的连续 映射
H
:
X
×
[
0
,
1
]
→
Y
{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}
使得:
∀
x
∈
X
,
H
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}
∀
x
∈
X
,
H
(
x
,
1
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}
则称
H
{\displaystyle H}
是
f
,
g
{\displaystyle f,\,g}
之间的一个同伦[1] :183 。
如果我们将 H 的第二个参数 当作时间,这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变 :0 时刻我们得到函数f ,1 时刻我们得到函数 g 。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”,当控制条从0滑动至1时,函数 f 平滑地转变为函数 g ,反之亦然。
另一种观点是:对每个
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\,\!}
,函数
H
{\displaystyle H\,\!}
定义一条连接
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
与
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)\,\!}
的路径:
γ
x
:
[
0
,
1
]
→
Y
,
t
↦
H
(
x
,
t
)
{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}
右侧的循环动画展示了两个嵌入R 3 中的环面之间的同伦。X 是环面,Y 是 R 3 。f,g 是从环面到
R 3 的连续函数,当动画开始时,f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht (x )作为时间的函数时的图像。每一次循环中,时间 t 从 0 变成 1,暂停一会,又从 1 变成 0。
性质
当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g 时,称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系 [1] :184 。以下情形中,同伦关系满足函数的复合 :
如果 f 1 , g 1 : X → Y 是同伦的,并且 f 2 , g 2 : Y → Z 是同伦的,则他们的复合 f 2 ∘ f 1 与 g 2 ∘ g 1 : X → Z 也是同伦的。
例子
例一 :取
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!}
,
Y
=
R
{\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}
,
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1\,\!}
及
g
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle g(x)=-1\,\!}
。则
f
{\displaystyle f\,\!}
与
g
{\displaystyle g\,\!}
透过下述函数在
Y
{\displaystyle Y\,\!}
中同伦。
H
(
x
,
t
)
=
1
−
2
t
{\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}
(注意到此例子不依赖于变数
x
{\displaystyle x}
,通常并非如此。) 注 :“在
Y
{\displaystyle Y}
中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将
Y
=
R
{\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}
代为子空间
Y
′
=
R
∗
{\displaystyle Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!}
,则虽然
f
{\displaystyle f\,\!}
与
g
{\displaystyle g\,\!}
仍取值在
Y
′
{\displaystyle Y'\,\!}
,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理 验证。
例二 :取
X
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle X=[0,1]\,\!}
,
Y
=
C
{\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!}
,
f
(
x
)
=
e
2
i
π
x
{\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!}
及
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle g(x)=0\,\!}
。则
f
{\displaystyle f\,\!}
描绘一个以原点为圆心的单位圆;
g
{\displaystyle g\,\!}
停在原点。
f
{\displaystyle f\,\!}
与
g
{\displaystyle g\,\!}
透过下述连续函数同伦:
H
(
x
,
t
)
=
(
1
−
t
)
e
2
i
π
x
{\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}
几何上来看,对每个值
t
{\displaystyle t\,\!}
,函数
h
t
(
x
)
=
H
(
x
,
t
)
{\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}
描绘一个以原点为圆心,半径
1
−
t
{\displaystyle 1-t}
的圆。
相对同伦
为定义高阶基本群 ,必须考虑相对于一个子空间 的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化,正式定义是:设
f
,
g
:
X
→
Y
{\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}
是连续函数,固定子空间
K
⊂
X
{\displaystyle K\subset X}
;若存在前述同伦映射
H
:
X
×
[
0
,
1
]
→
Y
{\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}
,满足:
H
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
,
H
(
x
,
1
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}
∀
k
∈
K
H
(
k
,
t
)
=
f
(
k
)
=
g
(
k
)
{\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}
则称
f
,
g
{\displaystyle f,g}
相对于
K
{\displaystyle K}
同伦。若取
K
=
∅
{\displaystyle K=\emptyset }
,则回到原先的同伦定义。
空间的同伦等价
给定两个拓扑空间
E
{\displaystyle E\,\!}
与
F
{\displaystyle F\,\!}
,我们称之同伦等价 (或称具相同伦型 ),当且仅当存在两个连续映射
f
:
E
→
F
{\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!}
与
g
:
F
→
E
{\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!}
,使得:
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f\,\!}
同伦到
E
{\displaystyle E\,\!}
的恒等映射
i
d
E
{\displaystyle \mathrm {id} _{E))
。
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g\,\!}
同伦到
F
{\displaystyle F\,\!}
的恒等映射
i
d
F
{\displaystyle \mathrm {id} _{F))
。同胚 蕴含同伦,反之则不然,详见以下例子:
例三 :
一个平面上的圆或椭圆同伦等价到
C
∗
{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!}
,即去掉一点的平面。
线段
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\,\!}
、闭圆盘及闭球间两两同伦等价,它们皆同伦等价于一个点。 同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学 里的性质均在同伦等价下不变,包括有:单连通 、同调群 及上同调群 等等。
同痕
同痕(Isotopy) 是同伦的加细版;我们进一步要求所论的函数
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!}
和
g
:
X
→
Y
{\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}
是嵌入 ,并要求两者间可用一族嵌入映射相连。
定义如此:
f
{\displaystyle f\,\!}
与
g
{\displaystyle g\,\!}
被称为同痕的,当且仅当存在连续 映射
H
:
X
×
[
0
,
1
]
→
Y
{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}
使之满足:
∀
x
∈
X
,
H
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}
∀
x
∈
X
,
H
(
x
,
1
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}
对所有
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]\,\!}
,映射
h
t
(
x
)
=
H
(
x
,
t
)
{\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}
是个嵌入映射。 同痕的概念在纽结理论 中格外重要:若两个结同痕,则我们视之相等;换言之,可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。